Kalkulus Contoh

$lim_{t \to - 3} \frac{t^{3} - 4 t + 15}{t^{2} - t - 12}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{t \to - 3} t^{3} - 4 t + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $- 3$ .

$\frac{lim_{t \to - 3} t^{3} - lim_{t \to - 3} 4 t + lim_{t \to - 3} 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan pangkat $3$ dari $t^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{t \to - 3} t)}^{3} - lim_{t \to - 3} 4 t + lim_{t \to - 3} 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan suku $4$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{{(lim_{t \to - 3} t)}^{3} - 4 lim_{t \to - 3} t + lim_{t \to - 3} 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Langkah 1.2.4

Evaluasi limit dari $15$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 3$ .

$\frac{{(lim_{t \to - 3} t)}^{3} - 4 lim_{t \to - 3} t + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Langkah 1.2.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $- 3$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{{(- 3)}^{3} - 4 lim_{t \to - 3} t + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Langkah 1.2.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{{(- 3)}^{3} - 4 \cdot - 3 + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{- 27 - 4 \cdot - 3 + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Langkah 1.2.6.1.2

Kalikan $- 4$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 27 + 12 + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Langkah 1.2.6.2

Tambahkan $- 27$ dan $12$ .

$\frac{- 15 + 15}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Langkah 1.2.6.3

Tambahkan $- 15$ dan $15$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 3} t^{2} - t - 12}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $- 3$ .

$\frac{0}{lim_{t \to - 3} t^{2} - lim_{t \to - 3} t - lim_{t \to - 3} 12}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $t^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - lim_{t \to - 3} t - lim_{t \to - 3} 12}$

Langkah 1.3.3

Evaluasi limit dari $12$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 3$ .

$\frac{0}{{(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - lim_{t \to - 3} t - 1 \cdot 12}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $- 3$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{{(- 3)}^{2} - lim_{t \to - 3} t - 1 \cdot 12}$

Langkah 1.3.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{{(- 3)}^{2} + 3 - 1 \cdot 12}$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{0}{9 + 3 - 1 \cdot 12}$

Langkah 1.3.5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$\frac{0}{9 + 3 - 12}$

Langkah 1.3.5.2

Tambahkan $9$ dan $3$ .

$\frac{0}{12 - 12}$

Langkah 1.3.5.3

Kurangi $12$ dengan $12$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.5.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.6

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{t \to - 3} \frac{t^{3} - 4 t + 15}{t^{2} - t - 12} = lim_{t \to - 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t + 15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{t \to - 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3} - 4 t + 15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{3} - 4 t + 15$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t] + \frac{d}{d t} [15]$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{\frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [- 4 t] + \frac{d}{d t} [15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} + \frac{d}{d t} [- 4 t] + \frac{d}{d t} [15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d t} [- 4 t]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 4 t$ terhadap $t$ adalah $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4 + \frac{d}{d t} [15]}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Langkah 3.5

Karena $15$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $15$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4 + 0}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Langkah 3.6

Tambahkan $3 t^{2} - 4$ dan $0$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{\frac{d}{d t} [t^{2} - t - 12]}$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t^{2} - t - 12$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- 12]$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- 12]}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{2 t + \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [- 12]}$

Langkah 3.9

Evaluasi $\frac{d}{d t} [- t]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{2 t - \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 12]}$

Langkah 3.9.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{2 t - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 12]}$

Langkah 3.9.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{2 t - 1 + \frac{d}{d t} [- 12]}$

Langkah 3.10

Karena $- 12$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- 12$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{2 t - 1 + 0}$

Langkah 3.11

Tambahkan $2 t - 1$ dan $0$ .

$lim_{t \to - 3} \frac{3 t^{2} - 4}{2 t - 1}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $- 3$ .

$\frac{lim_{t \to - 3} 3 t^{2} - 4}{lim_{t \to - 3} 2 t - 1}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $- 3$ .

$\frac{lim_{t \to - 3} 3 t^{2} - lim_{t \to - 3} 4}{lim_{t \to - 3} 2 t - 1}$

Langkah 6

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{3 lim_{t \to - 3} t^{2} - lim_{t \to - 3} 4}{lim_{t \to - 3} 2 t - 1}$

Langkah 7

Pindahkan pangkat $2$ dari $t^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{3 {(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - lim_{t \to - 3} 4}{lim_{t \to - 3} 2 t - 1}$

Langkah 8

Evaluasi limit dari $4$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{t \to - 3} 2 t - 1}$

Langkah 9

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $- 3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{t \to - 3} 2 t - lim_{t \to - 3} 1}$

Langkah 10

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - 1 \cdot 4}{2 lim_{t \to - 3} t - lim_{t \to - 3} 1}$

Langkah 11

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $- 3$ .

$\frac{3 {(lim_{t \to - 3} t)}^{2} - 1 \cdot 4}{2 lim_{t \to - 3} t - 1 \cdot 1}$

Langkah 12

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $- 3$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3 {(- 3)}^{2} - 1 \cdot 4}{2 lim_{t \to - 3} t - 1 \cdot 1}$

Langkah 12.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $- 3$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3 {(- 3)}^{2} - 1 \cdot 4}{2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1}$

Langkah 13

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{3 \cdot 9 - 1 \cdot 4}{2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1}$

Langkah 13.1.2

Kalikan $3$ dengan $9$ .

$\frac{27 - 1 \cdot 4}{2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1}$

Langkah 13.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$\frac{27 - 4}{2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1}$

Langkah 13.1.4

Kurangi $4$ dengan $27$ .

$\frac{23}{2 \cdot - 3 - 1 \cdot 1}$

Langkah 13.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.2.1

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$\frac{23}{- 6 - 1 \cdot 1}$

Langkah 13.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{23}{- 6 - 1}$

Langkah 13.2.3

Kurangi $1$ dengan $- 6$ .

$\frac{23}{- 7}$

Langkah 13.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{23}{7}$