Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 7 x^{2} + 10 x}{x^{2} + x - 6}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - 7 x^{2} + 10 x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 7 x^{2} + lim_{x \to 2} 10 x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.2

Pindahkan pangkat $3$ dari $x^{3}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 7 x^{2} + lim_{x \to 2} 10 x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan suku $7$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 7 lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 10 x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.4

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 7 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 10 x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.5

Pindahkan suku $10$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 7 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 10 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.6

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $2$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2^{3} - 7 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 10 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.6.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 10 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.6.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{2^{3} - 7 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.7.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{8 - 7 \cdot 2^{2} + 10 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.7.1.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{8 - 7 \cdot 4 + 10 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.7.1.3

Kalikan $- 7$ dengan $4$ .

$\frac{8 - 28 + 10 \cdot 2}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.7.1.4

Kalikan $10$ dengan $2$ .

$\frac{8 - 28 + 20}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.7.2

Kurangi $28$ dengan $8$ .

$\frac{- 20 + 20}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.2.7.3

Tambahkan $- 20$ dan $20$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} + x - 6}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}$

Langkah 1.3.2

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 6}$

Langkah 1.3.3

Evaluasi limit dari $6$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}$

Langkah 1.3.4

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $2$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.4.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2^{2} + lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 6}$

Langkah 1.3.4.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{2^{2} + 2 - 1 \cdot 6}$

Langkah 1.3.5

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.5.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{0}{4 + 2 - 1 \cdot 6}$

Langkah 1.3.5.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$\frac{0}{4 + 2 - 6}$

Langkah 1.3.5.2

Tambahkan $4$ dan $2$ .

$\frac{0}{6 - 6}$

Langkah 1.3.5.3

Kurangi $6$ dengan $6$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.5.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.6

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - 7 x^{2} + 10 x}{x^{2} + x - 6} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 7 x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - 7 x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{3} - 7 x^{2} + 10 x$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Langkah 3.4

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Karena $- 7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 7 x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Langkah 3.4.3

Kalikan $2$ dengan $- 7$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Langkah 3.5

Evaluasi $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Karena $10$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $10 x$ terhadap $x$ adalah $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Langkah 3.5.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Langkah 3.5.3

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 6]}$

Langkah 3.6

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + x - 6$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10}{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10}{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 6]}$

Langkah 3.9

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 6$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10}{2 x + 1 + 0}$

Langkah 3.10

Tambahkan $2 x + 1$ dan $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 14 x + 10}{2 x + 1}$

Langkah 4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - 14 x + 10}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 14 x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

Langkah 6

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 14 x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

Langkah 7

Pindahkan pangkat $2$ dari $x^{2}$ di luar limit menggunakan Kaidah Pangkat Limit.

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 14 x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

Langkah 8

Pindahkan suku $14$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 14 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 10}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

Langkah 9

Evaluasi limit dari $10$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 14 lim_{x \to 2} x + 10}{lim_{x \to 2} 2 x + 1}$

Langkah 10

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 14 lim_{x \to 2} x + 10}{lim_{x \to 2} 2 x + lim_{x \to 2} 1}$

Langkah 11

Pindahkan suku $2$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 14 lim_{x \to 2} x + 10}{2 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 1}$

Langkah 12

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $2$ .

$\frac{3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 14 lim_{x \to 2} x + 10}{2 lim_{x \to 2} x + 1}$

Langkah 13

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $2$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 14 lim_{x \to 2} x + 10}{2 lim_{x \to 2} x + 1}$

Langkah 13.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 14 \cdot 2 + 10}{2 lim_{x \to 2} x + 1}$

Langkah 13.3

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $2$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{3 \cdot 2^{2} - 14 \cdot 2 + 10}{2 \cdot 2 + 1}$

Langkah 14

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{3 \cdot 4 - 14 \cdot 2 + 10}{2 \cdot 2 + 1}$

Langkah 14.1.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$\frac{12 - 14 \cdot 2 + 10}{2 \cdot 2 + 1}$

Langkah 14.1.3

Kalikan $- 14$ dengan $2$ .

$\frac{12 - 28 + 10}{2 \cdot 2 + 1}$

Langkah 14.1.4

Kurangi $28$ dengan $12$ .

$\frac{- 16 + 10}{2 \cdot 2 + 1}$

Langkah 14.1.5

Tambahkan $- 16$ dan $10$ .

$\frac{- 6}{2 \cdot 2 + 1}$

Langkah 14.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.2.1

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$\frac{- 6}{4 + 1}$

Langkah 14.2.2

Tambahkan $4$ dan $1$ .

$\frac{- 6}{5}$

Langkah 14.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$- \frac{6}{5}$