Kalkulus Contoh

$lim_{t \to 0} \frac{1 + t - e^{- t}}{\ln (t + 1)}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{t \to 0} 1 + t - e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Langkah 1.2

Evaluasi limit dari pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Langkah 1.2.2

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - lim_{t \to 0} e^{- t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Langkah 1.2.3

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - e^{lim_{t \to 0} - t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Langkah 1.2.4

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$\frac{1 + lim_{t \to 0} t - e^{- lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Langkah 1.2.5

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1 + 0 - e^{- lim_{t \to 0} t}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Langkah 1.2.5.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{1 + 0 - e^{0}}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Langkah 1.2.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1 \cdot 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Langkah 1.2.6.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1 + 0 - 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Langkah 1.2.6.2

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Langkah 1.2.6.3

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \ln (t + 1)}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1.1

Pindahkan limit ke dalam logaritma.

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + 1)}$

Langkah 1.3.1.2

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1)}$

Langkah 1.3.1.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{t \to 0} t + 1)}$

Langkah 1.3.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{0}{\ln (0 + 1)}$

Langkah 1.3.3

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.3.1

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Langkah 1.3.3.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.3.3

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.3.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 1.4

Pernyataannya memuat pembagian oleh $0$ . Pernyataannya tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{0}{0}$

Langkah 2

Karena $\frac{0}{0}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{t \to 0} \frac{1 + t - e^{- t}}{\ln (t + 1)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1 + t - e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1 + t - e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + t - e^{- t}$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.3

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + \frac{d}{d t} [- e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.5

Evaluasi $\frac{d}{d t} [- e^{- t}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- e^{- t}$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [e^{- t}]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - \frac{d}{d t} [e^{- t}]}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.5.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = e^{t}$ dan $g (t) = - t$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.5.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{u} \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.5.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- t$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t])}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.5.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]))}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.5.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} (- 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.5.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (e^{- t} \cdot - 1)}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.5.6

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - (- 1 e^{- t})}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.5.7

Tulis kembali $- 1 e^{- t}$ sebagai $- e^{- t}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 - - e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.5.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + 1 e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.5.9

Kalikan $e^{- t}$ dengan $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{0 + 1 + e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.6

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{d}{d t} [\ln (t + 1)]}$

Langkah 3.7

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ adalah $f' (g (t)) g' (t)$ di mana $f (t) = \ln (t)$ dan $g (t) = t + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $t + 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 1]}$

Langkah 3.7.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 1]}$

Langkah 3.7.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $t + 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} \frac{d}{d t} [t + 1]}$

Langkah 3.8

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $t + 1$ terhadap $t$ adalah $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1])}$

Langkah 3.9

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (1 + \frac{d}{d t} [1])}$

Langkah 3.10

Karena $1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $1$ terhadap $t$ adalah $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} (1 + 0)}$

Langkah 3.11

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1} \cdot 1}$

Langkah 3.12

Kalikan $\frac{1}{t + 1}$ dengan $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{1 + e^{- t}}{\frac{1}{t + 1}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{t \to 0} (1 + e^{- t}) (t + 1)$

Langkah 5

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Kali Limit pada limit ketika $t$ mendekati $0$ .

$lim_{t \to 0} 1 + e^{- t} \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Langkah 6

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $0$ .

$(lim_{t \to 0} 1 + lim_{t \to 0} e^{- t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Langkah 7

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$(1 + lim_{t \to 0} e^{- t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Langkah 8

Pindahkan limit ke dalam eksponen.

$(1 + e^{lim_{t \to 0} - t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Langkah 9

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $t$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot lim_{t \to 0} t + 1$

Langkah 10

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $t$ mendekati $0$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot (lim_{t \to 0} t + lim_{t \to 0} 1)$

Langkah 11

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $0$ .

$(1 + e^{- lim_{t \to 0} t}) \cdot (lim_{t \to 0} t + 1)$

Langkah 12

Evaluasi limit-limit dengan memasukkan $0$ ke semua munculnya (Variabel1).

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$(1 + e^{0}) \cdot (lim_{t \to 0} t + 1)$

Langkah 12.2

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$(1 + e^{0}) \cdot (0 + 1)$

Langkah 13

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 13.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$(1 + 1) \cdot (0 + 1)$

Langkah 13.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \cdot (0 + 1)$

Langkah 13.3

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$2 \cdot 1$

Langkah 13.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$2$