Kalkulus Contoh

$5 \sin (2 x) + 3 > \frac{11}{2}$

Langkah 1

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $\sin (2 x)$ ke sisi kanan dari pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Kurangkan $3$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3$

Langkah 1.2

Untuk menuliskan $- 3$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}$

Langkah 1.3

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{2}{2}$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Langkah 1.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 3 \cdot 2}{2}$

Langkah 1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kalikan $- 3$ dengan $2$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{11 - 6}{2}$

Langkah 1.5.2

Kurangi $6$ dengan $11$ .

$5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$

Langkah 2

Bagi setiap suku pada $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ dengan $5$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Bagilah setiap suku di $5 \sin (2 x) > \frac{5}{2}$ dengan $5$ .

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Langkah 2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{5 \sin (2 x)}{5} > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Langkah 2.2.1.2

Bagilah $\sin (2 x)$ dengan $1$ .

$\sin (2 x) > \frac{\frac{5}{2}}{5}$

Langkah 2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Langkah 2.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\sin (2 x) > \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Langkah 2.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\sin (2 x) > \frac{1}{2}$

Langkah 3

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$2 x > \arcsin (\frac{1}{2})$

Langkah 4

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Nilai eksak dari $\arcsin (\frac{1}{2})$ adalah $\frac{π}{6}$ .

$2 x > \frac{π}{6}$

Langkah 5

Bagi setiap suku pada $2 x > \frac{π}{6}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Bagilah setiap suku di $2 x > \frac{π}{6}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Langkah 5.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x > \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x > \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 5.3.2

Kalikan $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Kalikan $\frac{π}{6}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x > \frac{π}{6 \cdot 2}$

Langkah 5.3.2.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$x > \frac{π}{12}$

Langkah 6

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$2 x = π - \frac{π}{6}$

Langkah 7

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 7.1.2

Gabungkan $π$ dan $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Langkah 7.1.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$2 x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Langkah 7.1.4

Kurangi $π$ dengan $π \cdot 6$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.4.1

Susun kembali $π$ dan $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Langkah 7.1.4.2

Kurangi $π$ dengan $6 \cdot π$ .

$2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$

Langkah 7.2

Bagi setiap suku pada $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = \frac{5 \cdot π}{6}$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Langkah 7.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\frac{5 \cdot π}{6}}{2}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$x = \frac{5 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.2.1

Kalikan $\frac{5 π}{6}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Langkah 7.2.3.2.2

Kalikan $6$ dengan $2$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Langkah 8

Tentukan periode dari $\sin (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 8.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 8.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 8.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 8.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 9

Periode dari fungsi $\sin (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 10

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$

Langkah 11

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Uji nilai pada interval $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Pilih nilai pada interval $\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1$

Langkah 11.1.2

Ganti $x$ dengan $1$ pada pertidaksamaan asal.

$5 \sin (2 (1)) + 3 > \frac{11}{2}$

Langkah 11.1.3

Sisi kiri $7.54648713$ lebih besar dari sisi kanan $5.5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 11.2

Uji nilai pada interval $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Pilih nilai pada interval $\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 2$

Langkah 11.2.2

Ganti $x$ dengan $2$ pada pertidaksamaan asal.

$5 \sin (2 (2)) + 3 > \frac{11}{2}$

Langkah 11.2.3

Sisi kiri $- 0.78401247$ tidak lebih besar dari sisi kanan $5.5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

Salah

Langkah 11.3

Uji nilai pada interval $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Pilih nilai pada interval $\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 11.3.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$5 \sin (2 (4)) + 3 > \frac{11}{2}$

Langkah 11.3.3

Sisi kiri $7.94679123$ lebih besar dari sisi kanan $5.5$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

Benar

Langkah 11.4

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Benar

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Salah

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Benar

$\frac{π}{12} < x < \frac{5 π}{12}$ Benar

$\frac{5 π}{12} < x < \frac{13 π}{12}$ Salah

$\frac{13 π}{12} < x < \frac{17 π}{12}$ Benar

Langkah 12

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$\frac{π}{12} + π n < x < \frac{5 π}{12} + π n$ atau $\frac{13 π}{12} + π n < x < \frac{17 π}{12} + π n$ , untuk bilangan bulat apa pun $n$

Langkah 13

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(\frac{13 π}{12} + π n, \frac{17 π}{12} + π n) \cup (\frac{π}{12} + π n, \frac{5 π}{12} + π n)$

Langkah 14