Kalkulus Contoh

$3 x^{2} + 2 x < x^{4}$

Langkah 1

Kurangkan $x^{4}$ pada kedua sisi pertidaksamaan tersebut.

$3 x^{2} + 2 x - x^{4} < 0$

Langkah 2

Konversikan pertidaksamaan ke persamaan.

$3 x^{2} + 2 x - x^{4} = 0$

Langkah 3

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Faktorkan $- x$ dari $3 x^{2} + 2 x - x^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Susun kembali pernyataan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Pindahkan $2 x$ .

$3 x^{2} - x^{4} + 2 x = 0$

Langkah 3.1.1.2

Susun kembali $3 x^{2}$ dan $- x^{4}$ .

$- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x = 0$

Langkah 3.1.2

Faktorkan $- x$ dari $- x^{4}$ .

$- x \cdot x^{3} + 3 x^{2} + 2 x = 0$

Langkah 3.1.3

Faktorkan $- x$ dari $3 x^{2}$ .

$- x \cdot x^{3} - x (- 3 x) + 2 x = 0$

Langkah 3.1.4

Faktorkan $- x$ dari $2 x$ .

$- x \cdot x^{3} - x (- 3 x) - x \cdot - 2 = 0$

Langkah 3.1.5

Faktorkan $- x$ dari $- x (x^{3}) - x (- 3 x)$ .

$- x (x^{3} - 3 x) - x \cdot - 2 = 0$

Langkah 3.1.6

Faktorkan $- x$ dari $- x (x^{3} - 3 x) - x (- 2)$ .

$- x (x^{3} - 3 x - 2) = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $x^{3} - 3 x - 2$ menggunakan uji akar rasional.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Jika fungsi Polinomial memiliki koefisien bilangan bulat, maka setiap nol rasional akan memiliki bentuk $\frac{p}{q}$ di mana $p$ adalah faktor dari konstanta dan $q$ adalah faktor dari koefisien pertama.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Langkah 3.2.2

Tentukan setiap gabungan dari $\pm \frac{p}{q}$ . Ini adalah akar yang memungkinkan dari fungsi polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Langkah 3.2.3

Substitusikan $- 1$ dan sederhanakan pernyataannya. Dalam hal ini, pernyataannya sama dengan $0$ sehingga $- 1$ adalah akar dari polinomialnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.3.1

Substitusikan $- 1$ ke dalam polinomialnya.

${(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 2$

Langkah 3.2.3.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$- 1 - 3 \cdot - 1 - 2$

Langkah 3.2.3.3

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$- 1 + 3 - 2$

Langkah 3.2.3.4

Tambahkan $- 1$ dan $3$ .

$2 - 2$

Langkah 3.2.3.5

Kurangi $2$ dengan $2$ .

$0$

Langkah 3.2.4

Karena $- 1$ adalah akar yang telah diketahui, bagi polinomial tersebut dengan $x + 1$ untuk mencari polinomial hasil bagi. Polinomial ini kemudian dapat digunakan untuk menemukan akar yang belum diketahui.

$\frac{x^{3} - 3 x - 2}{x + 1}$

Langkah 3.2.5

Bagilah $x^{3} - 3 x - 2$ dengan $x + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Tulis polinomial yang akan dibagi. Jika tidak ada suku untuk setiap eksponen, masukan suku dengan nilai $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Langkah 3.2.5.2

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $x^{3}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$

Langkah 3.2.5.3

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Langkah 3.2.5.4

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Langkah 3.2.5.5

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Langkah 3.2.5.6

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 3.2.5.7

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- x^{2}$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$

Langkah 3.2.5.8

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

Langkah 3.2.5.9

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- x^{2} - x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

Langkah 3.2.5.10

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Langkah 3.2.5.11

Mengeluarkan suku-suku berikutnya dari bilangan yang dibagi asli ke dalam bilangan yang dibagi saat ini.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Langkah 3.2.5.12

Bagilah suku dengan pangkat tertinggi pada bilangan yang dibagi $- 2 x$ dengan suku berpangkat tertinggi pada pembagi $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$

Langkah 3.2.5.13

Kalikan suku hasil bagi baru dengan pembagi.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							-	$2 x$	-	$2$

Langkah 3.2.5.14

Pernyataannya perlu dikurangi dari bilangan yang dibagi sehingga ubah semua tanda dalam $- 2 x - 2$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$

Langkah 3.2.5.15

Setelah mengubah tandanya, tambahkan pembagi terakhir dari perkalian polinomial untuk mencari pembagi baru.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$2$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	-	$2$
							+	$2 x$	+	$2$
										$0$

Langkah 3.2.5.16

Karena sisanya adalah $0$ , maka jawaban akhirnya adalah hasil baginya.

$x^{2} - x - 2$

Langkah 3.2.6

Tulis $x^{3} - 3 x - 2$ sebagai himpunan faktor.

$- x ((x + 1) (x^{2} - x - 2)) = 0$

Langkah 3.3

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Faktorkan $x^{2} - x - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Faktorkan $x^{2} - x - 2$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $- 2$ dan jumlahnya $- 1$ .

$- 2, 1$

Langkah 3.3.1.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$- x ((x + 1) ((x - 2) (x + 1))) = 0$

Langkah 3.3.1.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- x ((x + 1) (x - 2) (x + 1)) = 0$

Langkah 3.3.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- x (x + 1) (x - 2) (x + 1) = 0$

Langkah 3.4

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$- x ((x + 1) (x + 1)) (x - 2) = 0$

Langkah 3.4.2

Naikkan $x + 1$ menjadi pangkat $1$ .

$- x ((x + 1) (x + 1)) (x - 2) = 0$

Langkah 3.4.3

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$- x {(x + 1)}^{1 + 1} (x - 2) = 0$

Langkah 3.4.4

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$- x {(x + 1)}^{2} (x - 2) = 0$

Langkah 4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

${(x + 1)}^{2} = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 5

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 6

Atur ${(x + 1)}^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Atur ${(x + 1)}^{2}$ sama dengan $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Langkah 6.2

Selesaikan ${(x + 1)}^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Atur $x + 1$ agar sama dengan $0$ .

$x + 1 = 0$

Langkah 6.2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 1$

Langkah 7

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 7.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- x {(x + 1)}^{2} (x - 2) = 0$ benar.

$x = 0, - 1, 2$

Langkah 9

Gunakan masing-masing akar untuk membuat interval pengujian.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 2$

$x > 2$

Langkah 10

Pilih nilai uji dari masing-masing interval dan masukkan nilai ini ke dalam pertidaksamaan asal untuk menentukan interval mana yang memenuhi pertidaksamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Uji nilai pada interval $x < - 1$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1.1

Pilih nilai pada interval $x < - 1$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 4$

Langkah 10.1.2

Ganti $x$ dengan $- 4$ pada pertidaksamaan asal.

$3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) < {(- 4)}^{4}$

Langkah 10.1.3

Sisi kiri $40$ lebih kecil dari sisi kanan $256$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 10.2

Uji nilai pada interval $- 1 < x < 0$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Pilih nilai pada interval $- 1 < x < 0$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = - 0.5$

Langkah 10.2.2

Ganti $x$ dengan $- 0.5$ pada pertidaksamaan asal.

$3 {(- 0.5)}^{2} + 2 (- 0.5) < {(- 0.5)}^{4}$

Langkah 10.2.3

Sisi kiri $- 0.25$ lebih kecil dari sisi kanan $0.0625$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 10.3

Uji nilai pada interval $0 < x < 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Pilih nilai pada interval $0 < x < 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 1$

Langkah 10.3.2

Ganti $x$ dengan $1$ pada pertidaksamaan asal.

$3 {(1)}^{2} + 2 (1) < {(1)}^{4}$

Langkah 10.3.3

Sisi kiri $5$ tidak lebih kecil dari sisi kanan $1$ , yang berarti pernyataan yang diberikan salah.

False

Langkah 10.4

Uji nilai pada interval $x > 2$ untuk melihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan bernilai benar.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Pilih nilai pada interval $x > 2$ dan lihat apakah nilai ini membuat pertidaksamaan asal bernilai benar.

$x = 4$

Langkah 10.4.2

Ganti $x$ dengan $4$ pada pertidaksamaan asal.

$3 {(4)}^{2} + 2 (4) < {(4)}^{4}$

Langkah 10.4.3

Sisi kiri $56$ lebih kecil dari sisi kanan $256$ , yang berarti pernyataan yang diberikan selalu benar.

True

Langkah 10.5

Bandingkan interval untuk menentukan mana yang memenuhi pertidaksamaan asal.

$x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 0$ Benar

$0 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

$x < - 1$ Benar

$- 1 < x < 0$ Benar

$0 < x < 2$ Salah

$x > 2$ Benar

Langkah 11

Penyelesaian tersebut terdiri dari semua interval hakiki.

$x < - 1$ atau $- 1 < x < 0$ atau $x > 2$

Langkah 12

Konversikan pertidaksamaan ke notasi interval.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (2, \infty)$

Langkah 13