Kalkulus Contoh

${(\cos (\frac{3 π}{5}) + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Langkah 1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Evaluasi $\cos (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \sin (\frac{3 π}{5}))}^{3}$

Langkah 1.2

Evaluasi $\sin (\frac{3 π}{5})$ .

${(- 0.30901699 + i \cdot 0.95105651)}^{3}$

Langkah 1.3

Pindahkan $0.95105651$ ke sebelah kiri $i$ .

${(- 0.30901699 + 0.95105651 i)}^{3}$

Langkah 2

Gunakan Teorema Binomial.

${(- 0.30901699)}^{3} + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Naikkan $- 0.30901699$ menjadi pangkat $3$ .

$- 0.02950849 + 3 {(- 0.30901699)}^{2} (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Langkah 3.1.2

Naikkan $- 0.30901699$ menjadi pangkat $2$ .

$- 0.02950849 + 3 \cdot 0.0954915 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Langkah 3.1.3

Kalikan $3$ dengan $0.0954915$ .

$- 0.02950849 + 0.2864745 (0.95105651 i) + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Langkah 3.1.4

Kalikan $0.95105651$ dengan $0.2864745$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 3 \cdot - 0.30901699 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Langkah 3.1.5

Kalikan $3$ dengan $- 0.30901699$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 {(0.95105651 i)}^{2} + {(0.95105651 i)}^{3}$

Langkah 3.1.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 ({0.95105651}^{2} i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Langkah 3.1.7

Naikkan $0.95105651$ menjadi pangkat $2$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 i^{2}) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Langkah 3.1.8

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1) + {(0.95105651 i)}^{3}$

Langkah 3.1.9

Kalikan $- 0.92705098 (0.90450849 \cdot - 1)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.9.1

Kalikan $0.90450849$ dengan $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i - 0.92705098 \cdot - 0.90450849 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Langkah 3.1.9.2

Kalikan $- 0.92705098$ dengan $- 0.90450849$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {(0.95105651 i)}^{3}$

Langkah 3.1.10

Terapkan kaidah hasil kali ke $0.95105651 i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + {0.95105651}^{3} i^{3}$

Langkah 3.1.11

Naikkan $0.95105651$ menjadi pangkat $3$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 i^{3}$

Langkah 3.1.12

Faktorkan $i^{2}$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (i^{2} \cdot i)$

Langkah 3.1.13

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- 1 \cdot i)$

Langkah 3.1.14

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 + 0.8602387 (- i)$

Langkah 3.1.15

Kalikan $- 1$ dengan $0.8602387$ .

$- 0.02950849 + 0.27245344 i + 0.83852549 - 0.8602387 i$

Langkah 3.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Tambahkan $- 0.02950849$ dan $0.83852549$ .

$0.80901699 + 0.27245344 i - 0.8602387 i$

Langkah 3.2.2

Kurangi $0.8602387 i$ dengan $0.27245344 i$ .

$0.80901699 - 0.58778525 i$

Langkah 4

Ini adalah bentuk trigonometri dari bilangan kompleks di mana $| z |$ adalah modulusnya dan $θ$ adalah sudut yang dibuat di bidang kompleks.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Langkah 5

Modulus bilangan kompleks adalah jarak dari asal pada bidang kompleks.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ di mana $z = a + b i$

Langkah 6

Substitusikan nilai-nilai aktual dari $a = 0.80901699$ dan $b = - 0.58778525$ .

$| z | = \sqrt{{(- 0.58778525)}^{2} + {0.80901699}^{2}}$

Langkah 7

Temukan $| z |$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Naikkan $- 0.58778525$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + {0.80901699}^{2}}$

Langkah 7.2

Naikkan $0.80901699$ menjadi pangkat $2$ .

$| z | = \sqrt{0.3454915 + 0.65450849}$

Langkah 7.3

Tambahkan $0.3454915$ dan $0.65450849$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Langkah 7.4

Tulis kembali $1$ sebagai $1^{2}$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Langkah 7.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$| z | = 1$

Langkah 8

Sudut dari titik pada bidang kompleks adalah tangen balikan dari bagian kompleks per bagian riil.

$θ = \arctan (\frac{- 0.58778525}{0.80901699})$

Langkah 9

Karena tangen balikan $\frac{- 0.58778525}{0.80901699}$ menghasilkan sudut di kuadran keempat, nilai dari sudut tersebut adalah $- \frac{π}{5}$ .

$θ = - \frac{π}{5}$

Langkah 10

Substitusikan nilai-nilai dari $θ = - \frac{π}{5}$ dan $| z | = 1$ .

$1 (\cos (- \frac{π}{5}) + i \sin (- \frac{π}{5}))$