Kalkulus Contoh

$e^{x} (x - 4)$

Langkah 1

Tulis $e^{x} (x - 4)$ sebagai fungsi.

$f (x) = e^{x} (x - 4)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = x - 4$ .

$f' (x) = e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Langkah 2.1.2.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = e^{x} (1 + 0) + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Langkah 2.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = e^{x} \cdot 1 + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Langkah 2.1.2.4.2

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$f' (x) = e^{x} + (x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = e^{x} + (x - 4) e^{x}$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = e^{x} + x e^{x} - 4 e^{x}$

Langkah 2.1.4.2

Kurangi $4 e^{x}$ dengan $e^{x}$ .

$f' (x) = x e^{x} - 3 e^{x}$

Langkah 2.1.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = e^{x} x - 3 e^{x}$

Langkah 2.1.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x - 3 e^{x}$ .

$f' (x) = x e^{x} - 3 e^{x}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x e^{x} - 3 e^{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{x})$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{x})$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 e^{x})$

Langkah 2.2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 e^{x})$

Langkah 2.2.2.4

Kalikan $e^{x}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (- 3 e^{x})$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 3 e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 3 e^{x}$ terhadap $x$ adalah $- 3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} - 3 \frac{d}{d x} e^{x}$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} - 3 e^{x}$

Langkah 2.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Kurangi $3 e^{x}$ dengan $e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} - 2 e^{x}$

Langkah 2.2.4.2

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = e^{x} x - 2 e^{x}$

Langkah 2.2.4.3

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} - 2 e^{x}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x e^{x} - 2 e^{x}$ .

$x e^{x} - 2 e^{x}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x e^{x} - 2 e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$x e^{x} - 2 e^{x} = 0$

Langkah 3.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x} - 2 e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Faktorkan $e^{x}$ dari $x e^{x}$ .

$e^{x} x - 2 e^{x} = 0$

Langkah 3.2.2

Faktorkan $e^{x}$ dari $- 2 e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot - 2 = 0$

Langkah 3.2.3

Faktorkan $e^{x}$ dari $e^{x} x + e^{x} \cdot - 2$ .

$e^{x} (x - 2) = 0$

Langkah 3.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 2 = 0$

Langkah 3.4

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 3.4.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 3.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3.5

Atur $x - 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Atur $x - 2$ sama dengan $0$ .

$x - 2 = 0$

Langkah 3.5.2

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 2$

Langkah 3.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{x} (x - 2) = 0$ benar.

$x = 2$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $2$ dalam $f (x) = e^{x} (x - 4)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f (2) = e^{2} ((2) - 4)$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Kurangi $4$ dengan $2$ .

$f (2) = e^{2} \cdot - 2$

Langkah 4.1.2.2

Pindahkan $- 2$ ke sebelah kiri $e^{2}$ .

$f (2) = - 2 e^{2}$

Langkah 4.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 2 e^{2}$ .

$- 2 e^{2}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $2$ dalam $f (x) = e^{x} (x - 4)$ adalah $(2, - 2 e^{2})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(2, - 2 e^{2})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.9$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.9) = (1.9) \cdot e^{1.9} - 2 e^{1.9}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kalikan $1.9$ dengan $e^{1.9}$ .

$f'' (1.9) = 12.70319944 - 2 e^{1.9}$

Langkah 6.2.2

Kurangi $2 e^{1.9}$ dengan $12.70319944$ .

$f'' (1.9) = - 0.66858944$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 0.66858944$ .

$- 0.66858944$

Langkah 6.3

Pada $1.9$ , turunan kedua adalah $- 0.66858944$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, 2)$

Menurun pada $(- \infty, 2)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(2, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $2.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2.1) = (2.1) \cdot e^{2.1} - 2 e^{2.1}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Kalikan $2.1$ dengan $e^{2.1}$ .

$f'' (2.1) = 17.14895681 - 2 e^{2.1}$

Langkah 7.2.2

Kurangi $2 e^{2.1}$ dengan $17.14895681$ .

$f'' (2.1) = 0.81661699$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.81661699$ .

$0.81661699$

Langkah 7.3

Pada $2.1$ , turunan keduanya adalah $0.81661699$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(2, \infty)$ .

Meningkat pada $(2, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik belok dalam kasus ini adalah $(2, - 2 e^{2})$ .

$(2, - 2 e^{2})$

Langkah 9