Kalkulus Contoh

${(5 (\cos (30 °) + i \sin (30 °)))}^{3}$

Langkah 1

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Nilai eksak dari $\cos (30 °)$ adalah $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (30 °)))}^{3}$

Langkah 1.1.2

Nilai eksak dari $\sin (30 °)$ adalah $\frac{1}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}))}^{3}$

Langkah 1.1.3

Gabungkan $i$ dan $\frac{1}{2}$ .

${(5 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2}))}^{3}$

Langkah 1.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Terapkan sifat distributif.

${(5 \frac{\sqrt{3}}{2} + 5 \frac{i}{2})}^{3}$

Langkah 1.2.2

Gabungkan $5$ dan $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(\frac{5 \sqrt{3}}{2} + 5 \frac{i}{2})}^{3}$

Langkah 1.2.3

Gabungkan $5$ dan $\frac{i}{2}$ .

${(\frac{5 \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 2

Gunakan Teorema Binomial.

${(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{3} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.2.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{3}$ sebagai $\sqrt{3^{3}}$ .

$\frac{125 \sqrt{3^{3}}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.2.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{125 \sqrt{27}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.2.4

Tulis kembali $27$ sebagai $3^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.4.1

Faktorkan $9$ dari $27$ .

$\frac{125 \sqrt{9 (3)}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.2.4.2

Tulis kembali $9$ sebagai $3^{2}$ .

$\frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.2.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$\frac{125 \cdot 3 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.2.6

Kalikan $125$ dengan $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 {(\frac{5 \sqrt{3}}{2})}^{2} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.4

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.4.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{{(5 \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.4.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{5^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.5

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 {\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.5.2

Tulis kembali ${\sqrt{3}}^{2}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.5.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.5.2.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.5.2.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.5.2.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.5.2.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3^{1}}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.5.2.5

Evaluasi eksponennya.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3}{2^{2}} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.6

Naikkan $2$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 \frac{25 \cdot 3}{4} \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.7

Kalikan $25$ dengan $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + 3 (\frac{75}{4}) \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.8

Kalikan $3 (\frac{75}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.8.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{75}{4}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{3 \cdot 75}{4} \cdot \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.8.2

Kalikan $3$ dengan $75$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{225}{4} \cdot \frac{5 i}{2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.9

Kalikan $\frac{225}{4} \cdot \frac{5 i}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.9.1

Kalikan $\frac{225}{4}$ dengan $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{225 (5 i)}{4 \cdot 2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.9.2

Kalikan $5$ dengan $225$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{4 \cdot 2} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.9.3

Kalikan $4$ dengan $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + 3 \frac{5 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.10

Kalikan $3 \frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.10.1

Gabungkan $3$ dan $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{3 (5 \sqrt{3})}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.10.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3}}{2} {(\frac{5 i}{2})}^{2} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.11

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.11.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{{(5 i)}^{2}}{2^{2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.11.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 i$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{5^{2} i^{2}}{2^{2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.12

Gabungkan.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} (5^{2} i^{2})}{2 \cdot 2^{2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.13

Kalikan $2$ dengan $2^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.13.1

Kalikan $2$ dengan $2^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.13.1.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} (5^{2} i^{2})}{2^{1} \cdot 2^{2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.13.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} (5^{2} i^{2})}{2^{1 + 2}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.13.2

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} (5^{2} i^{2})}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.14

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.14.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} \cdot 25 i^{2}}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.14.2

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{15 \sqrt{3} \cdot 25 \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.14.3

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.14.3.1

Kalikan $25$ dengan $15$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{375 \sqrt{3} \cdot - 1}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.14.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $375$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{- 375 \sqrt{3}}{2^{3}} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.15

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} + \frac{- 375 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.16

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + {(\frac{5 i}{2})}^{3}$

Langkah 3.1.17

Gunakan kaidah pangkat ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ untuk menyebarkan pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.17.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{5 i}{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{{(5 i)}^{3}}{2^{3}}$

Langkah 3.1.17.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $5 i$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{5^{3} i^{3}}{2^{3}}$

Langkah 3.1.18

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.18.1

Naikkan $5$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{125 i^{3}}{2^{3}}$

Langkah 3.1.18.2

Faktorkan $i^{2}$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{125 (i^{2} \cdot i)}{2^{3}}$

Langkah 3.1.18.3

Tulis kembali $i^{2}$ sebagai $- 1$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{125 (- 1 \cdot i)}{2^{3}}$

Langkah 3.1.18.4

Tulis kembali $- 1 i$ sebagai $- i$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{125 \cdot - 1 i}{2^{3}}$

Langkah 3.1.18.5

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.18.5.1

Buang faktor negatif.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{- (125 i)}{2^{3}}$

Langkah 3.1.18.5.2

Kalikan $125$ dengan $- 1$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 125 i}{2^{3}}$

Langkah 3.1.19

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{- 125 i}{8}$

Langkah 3.1.20

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\frac{375 \sqrt{3}}{8} + \frac{1125 i}{8} - \frac{375 \sqrt{3}}{8} - \frac{125 i}{8}$

Langkah 3.2

Sederhanakan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{375 \sqrt{3} + 1125 i - 375 \sqrt{3} - 125 i}{8}$

Langkah 3.2.2

Kurangi $375 \sqrt{3}$ dengan $375 \sqrt{3}$ .

$\frac{0 + 1125 i - 125 i}{8}$

Langkah 3.2.3

Tambahkan $0$ dan $1125 i$ .

$\frac{1125 i - 125 i}{8}$

Langkah 3.2.4

Kurangi $125 i$ dengan $1125 i$ .

$\frac{1000 i}{8}$

Langkah 3.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $1000$ dan $8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.1

Faktorkan $8$ dari $1000 i$ .

$\frac{8 (125 i)}{8}$

Langkah 3.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.5.2.1

Faktorkan $8$ dari $8$ .

$\frac{8 (125 i)}{8 (1)}$

Langkah 3.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{8 (125 i)}{8 \cdot 1}$

Langkah 3.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{125 i}{1}$

Langkah 3.2.5.2.4

Bagilah $125 i$ dengan $1$ .

$125 i$