Kalkulus Contoh

$\ln (x^{4} + 1)$

Langkah 1

Tulis $\ln (x^{4} + 1)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \ln (x^{4} + 1)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{4} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{4} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Langkah 2.1.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Langkah 2.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{4} + 1$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 2.1.2.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3} + 0)$

Langkah 2.1.2.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$\frac{1}{x^{4} + 1} (4 x^{3})$

Langkah 2.1.2.4.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{4}{x^{4} + 1} x^{3}$

Langkah 2.1.2.4.3

Gabungkan $\frac{4}{x^{4} + 1}$ dan $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$4 x^{3} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Bagi setiap suku pada $4 x^{3} = 0$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Bagilah setiap suku di $4 x^{3} = 0$ dengan $4$ .

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 3.3.1.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 x^{3}}{4} = \frac{0}{4}$

Langkah 3.3.1.2.1.2

Bagilah $x^{3}$ dengan $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{4}$

Langkah 3.3.1.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.3.1

Bagilah $0$ dengan $4$ .

$x^{3} = 0$

Langkah 3.3.2

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 3.3.3.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = \frac{4 {(- 1)}^{3}}{{(- 1)}^{4} + 1}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{{(- 1)}^{4} + 1}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{1 + 1}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (- 1) = \frac{4 \cdot - 1}{2}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 4}{2}$

Langkah 6.2.3.2

Bagilah $- 4$ dengan $2$ .

$f' (- 1) = - 2$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- 2$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, 0)$ .

Menurun pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{4 {(1)}^{3}}{{(1)}^{4} + 1}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{1^{4} + 1}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{1 + 1}$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (1) = \frac{4 \cdot 1}{2}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f' (1) = \frac{4}{2}$

Langkah 7.2.3.2

Bagilah $4$ dengan $2$ .

$f' (1) = 2$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $2$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(0, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, 0)$

Langkah 9