Kalkulus Contoh

$- \cos^{2} (x)$

Langkah 1

Tulis $- \cos^{2} (x)$ sebagai fungsi.

$f (x) = - \cos^{2} (x)$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos^{2} (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} \cos^{2} (x)$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = - (2 u \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$f' (x) = - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.1.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = - 2 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 2.1.4

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Langkah 2.1.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

Langkah 2.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Susun kembali $2 \cos (x)$ dan $\sin (x)$ .

$f' (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Langkah 2.1.6.2

Susun kembali $\sin (x)$ dan $2$ .

$f' (x) = 2 \cdot (\sin (x) \cos (x))$

Langkah 2.1.6.3

Terapkan identitas sudut ganda sinus.

$f' (x) = \sin (2 x)$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x)$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\sin (2 x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Langkah 3.2

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$2 x = \arcsin (0)$

Langkah 3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$2 x = 0$

Langkah 3.4

Bagi setiap suku pada $2 x = 0$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Bagilah setiap suku di $2 x = 0$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Langkah 3.4.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Langkah 3.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.3.1

Bagilah $0$ dengan $2$ .

$x = 0$

Langkah 3.5

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$2 x = π - 0$

Langkah 3.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$2 x = π + 0$

Langkah 3.6.1.2

Tambahkan $π$ dan $0$ .

$2 x = π$

Langkah 3.6.2

Bagi setiap suku pada $2 x = π$ dengan $2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Bagilah setiap suku di $2 x = π$ dengan $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Langkah 3.6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Langkah 3.6.2.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Langkah 3.7

Tentukan periode dari $\sin (2 x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 3.7.2

Ganti $b$ dengan $2$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Langkah 3.7.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $2$ adalah $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 3.7.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 π}{2}$

Langkah 3.7.4.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 3.8

Periode dari fungsi $\sin (2 x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3.9

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π n}{2}$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{π n}{2}$ .

$\frac{π n}{2}$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = \sin (2 x)$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = - \cos^{2} (x)$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{π n}{2}) \cup (\frac{π n}{2}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, \frac{π n}{2})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π n}{2} - 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} - 1))$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Langkah 6.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot - 1)$

Langkah 6.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n + 2 \cdot - 1)$

Langkah 6.2.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (\frac{π n}{2} - 1) = \sin (π n - 2)$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\sin (π n - 2)$ .

$\sin (π n - 2)$

Langkah 6.3

Pada $x = \frac{π n}{2} - 1$ , turunannya adalah $\sin (π n - 2)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, \frac{π n}{2})$ .

Menurun pada $(- \infty, \frac{π n}{2})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{π n}{2}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $\frac{π n}{2} + 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2} + 1))$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Langkah 7.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (2 (\frac{π n}{2}) + 2 \cdot 1)$

Langkah 7.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2 \cdot 1)$

Langkah 7.2.3

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (\frac{π n}{2} + 1) = \sin (π n + 2)$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\sin (π n + 2)$ .

$\sin (π n + 2)$

Langkah 7.3

Pada $x = \frac{π n}{2} + 1$ , turunannya adalah $\sin (π n + 2)$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{π n}{2}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{π n}{2}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(\frac{π n}{2}, \infty)$

Menurun pada: $(- \infty, \frac{π n}{2})$

Langkah 9