Kalkulus Contoh

$2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Langkah 1

Tulis $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $2 x^{\frac{5}{3}} - 5 x^{\frac{4}{3}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{5}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x^{\frac{5}{3}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Langkah 2.1.2.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Langkah 2.1.2.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Langkah 2.1.2.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Langkah 2.1.2.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Langkah 2.1.2.6.2

Kurangi $3$ dengan $5$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Langkah 2.1.2.7

Gabungkan $\frac{5}{3}$ dan $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Langkah 2.1.2.8

Gabungkan $2$ dan $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Langkah 2.1.2.9

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{\frac{4}{3}})$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- 5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 5 x^{\frac{4}{3}}$ terhadap $x$ adalah $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{3}}$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = \frac{4}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1})$

Langkah 2.1.3.3

Untuk menuliskan $- 1$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Langkah 2.1.3.4

Gabungkan $- 1$ dan $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 2.1.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Langkah 2.1.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}})$

Langkah 2.1.3.6.2

Kurangi $3$ dengan $4$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}})$

Langkah 2.1.3.7

Gabungkan $\frac{4}{3}$ dan $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - 5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 2.1.3.8

Gabungkan $- 5$ dan $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3}$

Langkah 2.1.3.9

Kalikan $4$ dengan $- 5$ .

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{- 20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 2.1.3.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = \frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{10 x^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} = 0$

Langkah 3.2

Gambarkan setiap sisi persamaan. Penyelesaiannya adalah nilai x dari titik perpotongan.

$x = 0, 8$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, 8$ .

$0, 8$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 6.2.2.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 6.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 6.2.2.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 1) = \frac{10 {(- 1)}^{2} - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 6.2.2.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{10 \cdot 1 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 6.2.2.5

Kalikan $10$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 6.2.2.6

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 6.2.2.7

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Langkah 6.2.2.8

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.8.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}}{3}$

Langkah 6.2.2.8.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Langkah 6.2.2.9

Evaluasi eksponennya.

$f' (- 1) = \frac{10 - 20 \cdot - 1}{3}$

Langkah 6.2.2.10

Kalikan $- 20$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{10 + 20}{3}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Tambahkan $10$ dan $20$ .

$f' (- 1) = \frac{30}{3}$

Langkah 6.2.3.2

Bagilah $30$ dengan $3$ .

$f' (- 1) = 10$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $10$ .

$10$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $10$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 0)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, 8)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $4$ pada pernyataan tersebut.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (4) = \frac{10 {(4)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(4)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 7.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$f' (4) = \frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 7.3

Pada $x = 4$ , turunannya adalah $\frac{10 \cdot 4^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, 8)$ .

Menurun pada $(0, 8)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(8, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $9$ pada pernyataan tersebut.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}}}{3} - \frac{20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (9) = \frac{10 {(9)}^{\frac{2}{3}} - 20 {(9)}^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 8.2.2

Hilangkan tanda kurung.

$f' (9) = \frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$

Langkah 8.3

Pada $x = 9$ , turunannya adalah $\frac{10 \cdot 9^{\frac{2}{3}} - 20 \cdot 9^{\frac{1}{3}}}{3}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(8, \infty)$ .

Menurun pada $(8, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 9

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 0)$

Menurun pada: $(0, 8), (8, \infty)$

Langkah 10