Kalkulus Contoh

$\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Langkah 1

Tulis $\frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 3 + e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) \frac{d}{d x} (e^{x}) - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} (3 + e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 + e^{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.3.2

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} (e^{x}))}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.3.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.5

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Pindahkan $e^{x}$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.5.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.5.3

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{(3 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.6.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.2.1

Kalikan $e^{x}$ dengan $e^{x}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.2.1.1

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.6.2.1.2

Tambahkan $x$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.6.2.2

Gabungkan suku balikan dalam $3 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.2.2.1

Kurangi $e^{2 x}$ dengan $e^{2 x}$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x} + 0}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.1.6.2.2.2

Tambahkan $3 e^{x}$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$3 e^{x} = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (3 e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 3.3.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 3.3.3

Tidak ada penyelesaian untuk $3 e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 4

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 5

Tidak ada titik yang membuat turunan $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi. Interval untuk memeriksa apakah $f (x) = \frac{e^{x}}{3 + e^{x}}$ naik atau turun yaitu $(- \infty, \infty)$ .

$(- \infty, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan, seperti $1$ , dari interval $(- \infty, \infty)$ pada turunan $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ untuk mengetahui apakah hasilnya negatif atau positif. Jika hasilnya negatif, grafiknya menurun pada interval $(- \infty, \infty)$ . Jika hasilnya positif, grafiknya meningkat pada interval $(- \infty, \infty)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = \frac{3 e^{1}}{{(3 + e^{1})}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan.

$f' (1) = \frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ .

$\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$

Langkah 7

Hasil dari mensubstitusikan $1$ ke dalam $f' (x) = \frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ adalah $\frac{3 e}{{(3 + e)}^{2}}$ , yang mana positif sehingga grafiknya meningkat pada interval $(- \infty, \infty)$ .

Meningkat pada $(- \infty, \infty)$ karena $\frac{3 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} > 0$

Langkah 8

Meningkat selama interval $(- \infty, \infty)$ berarti bahwa fungsinya selalu meningkat.

Selalu Meningkat

Langkah 9