Kalkulus Contoh

$y = \frac{2}{4 - x}$

Langkah 1

Tulis $y = \frac{2}{4 - x}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{2}{4 - x}$

Langkah 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{4 - x}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 - x}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{4 - x})$

Langkah 2.1.1.1.2

Tulis kembali $\frac{1}{4 - x}$ sebagai ${(4 - x)}^{- 1}$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{- 1})$

Langkah 2.1.1.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = 4 - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $4 - x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 2.1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 2.1.1.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $4 - x$ .

$f' (x) = 2 (- {(4 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 2.1.1.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (x) = - 2 ({(4 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} (4 - x))$

Langkah 2.1.1.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $4 - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = - 2 {(4 - x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 2.1.1.3.3

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = - 2 {(4 - x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 2.1.1.3.4

Tambahkan $0$ dan $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = - 2 {(4 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 2.1.1.3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 2 {(4 - x)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} x)$

Langkah 2.1.1.3.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = 2 {(4 - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x)$

Langkah 2.1.1.3.7

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 2 {(4 - x)}^{- 2} \cdot 1$

Langkah 2.1.1.3.8

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (x) = 2 {(4 - x)}^{- 2}$

Langkah 2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{1}{{(4 - x)}^{2}})$

Langkah 2.1.1.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.5.1

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{{(4 - x)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{{(4 - x)}^{2}}$

Langkah 2.1.1.5.2

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = \frac{2}{{(- x + 4)}^{2}}$

Langkah 2.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Kelipatan Tetap.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2}{{(- x + 4)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(- x + 4)}^{2}})$

Langkah 2.1.2.1.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{{(- x + 4)}^{2}}$ sebagai ${({(- x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(- x + 4)}^{2})}^{- 1})$

Langkah 2.1.2.1.2.2

Kalikan eksponen dalam ${({(- x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(- x + 4)}^{2 \cdot - 1})$

Langkah 2.1.2.1.2.2.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(- x + 4)}^{- 2})$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 2}$ dan $g (x) = - x + 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x + 4$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (- x + 4))$

Langkah 2.1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 2$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (- x + 4))$

Langkah 2.1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x + 4$ .

$f'' (x) = 2 (- 2 {(- x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (- x + 4))$

Langkah 2.1.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.1

Kalikan $- 2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = - 4 ({(- x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (- x + 4))$

Langkah 2.1.2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $- x + 4$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 4 {(- x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (4))$

Langkah 2.1.2.3.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 {(- x + 4)}^{- 3} (- \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (4))$

Langkah 2.1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 {(- x + 4)}^{- 3} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Langkah 2.1.2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = - 4 {(- x + 4)}^{- 3} (- 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Langkah 2.1.2.3.6

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(- x + 4)}^{- 3} (- 1 + 0)$

Langkah 2.1.2.3.7

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.3.7.1

Tambahkan $- 1$ dan $0$ .

$f'' (x) = - 4 {(- x + 4)}^{- 3} \cdot - 1$

Langkah 2.1.2.3.7.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = 4 {(- x + 4)}^{- 3}$

Langkah 2.1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{{(- x + 4)}^{3}})$

Langkah 2.1.2.4.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{{(- x + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{{(- x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{4}{{(- x + 4)}^{3}}$ .

$\frac{4}{{(- x + 4)}^{3}}$

Langkah 2.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{4}{{(- x + 4)}^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{4}{{(- x + 4)}^{3}} = 0$

Langkah 2.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$4 = 0$

Langkah 2.2.3

Karena $4 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 3

Tentukan domain dari $f (x) = \frac{2}{4 - x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur penyebut dalam $\frac{2}{4 - x}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$4 - x = 0$

Langkah 3.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x = - 4$

Langkah 3.2.2

Bagi setiap suku pada $- x = - 4$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = - 4$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 3.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 3.2.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Langkah 3.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.2.3.1

Bagilah $- 4$ dengan $- 1$ .

$x = 4$

Langkah 3.3

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 4}$

Notasi Interval:

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \neq 4}$

Langkah 4

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(- \infty, 4)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = \frac{4}{{(- (0) + 4)}^{3}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$f'' (0) = \frac{4}{{(0 + 4)}^{3}}$

Langkah 5.2.1.2

Tambahkan $0$ dan $4$ .

$f'' (0) = \frac{4}{4^{3}}$

Langkah 5.2.1.3

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0) = \frac{4}{64}$

Langkah 5.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$f'' (0) = \frac{4 (1)}{64}$

Langkah 5.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $64$ .

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 16}$

Langkah 5.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (0) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 16}$

Langkah 5.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (0) = \frac{1}{16}$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{16}$ .

$\frac{1}{16}$

Langkah 5.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(- \infty, 4)$ karena $f'' (0)$ positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, 4)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 6

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(4, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $6$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (6) = \frac{4}{{(- (6) + 4)}^{3}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$f'' (6) = \frac{4}{{(- 6 + 4)}^{3}}$

Langkah 6.2.1.2

Tambahkan $- 6$ dan $4$ .

$f'' (6) = \frac{4}{{(- 2)}^{3}}$

Langkah 6.2.1.3

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (6) = \frac{4}{- 8}$

Langkah 6.2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $- 8$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$f'' (6) = \frac{4 (1)}{- 8}$

Langkah 6.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1.2.1

Faktorkan $4$ dari $- 8$ .

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Langkah 6.2.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (6) = \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 2}$

Langkah 6.2.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (6) = \frac{1}{- 2}$

Langkah 6.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (6) = - \frac{1}{2}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2}$

Langkah 6.3

Grafiknya cekung ke bawah pada interval $(4, \infty)$ karena $f'' (6)$ negatif.

Cekung ke bawah pada $(4, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 7

Grafiknya cekung ke bawah ketika turunan keduanya negatif dan cekung ke atas ketika turunan keduanya positif.

Cekung ke atas pada $(- \infty, 4)$ karena $f'' (x)$ positif

Cekung ke bawah pada $(4, \infty)$ karena $f'' (x)$ negatif

Langkah 8