Kalkulus Contoh

$8 x - y^{2} = 23 y$ ; $(3, 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dan evaluasi di $x = 3$ dan $y = 1$ untuk menentukan gradien garis tangen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{d}{d x} (8 x - y^{2}) = \frac{d}{d x} (23 y)$

Langkah 1.2

Diferensialkan sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $8 x - y^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $8 x$ terhadap $x$ adalah $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.2.3

Kalikan $8$ dengan $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- y^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$8 - \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Langkah 1.2.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $y$ .

$8 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$8 - (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $y$ .

$8 - (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$8 - (2 y y')$

Langkah 1.2.3.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$8 - 2 y y'$

Langkah 1.2.4

Susun kembali suku-suku.

$- 2 y y' + 8$

Langkah 1.3

Diferensialkan sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Karena $23$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $23 y$ terhadap $x$ adalah $23 \frac{d}{d x} [y]$ .

$23 \frac{d}{d x} [y]$

Langkah 1.3.2

Tulis kembali $\frac{d}{d x} [y]$ sebagai $y'$ .

$23 y'$

Langkah 1.4

Membentuk ulang persamaan dengan mengatur sisi kiri sama dengan sisi kanan.

$- 2 y y' + 8 = 23 y'$

Langkah 1.5

Selesaikan $y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.1

Kurangkan $23 y'$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 y y' + 8 - 23 y' = 0$

Langkah 1.5.2

Kurangkan $8$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 y y' - 23 y' = - 8$

Langkah 1.5.3

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y y' - 23 y'$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.3.1

Faktorkan $y'$ dari $- 2 y y'$ .

$y' (- 2 y) - 23 y' = - 8$

Langkah 1.5.3.2

Faktorkan $y'$ dari $- 23 y'$ .

$y' (- 2 y) + y' \cdot - 23 = - 8$

Langkah 1.5.3.3

Faktorkan $y'$ dari $y' (- 2 y) + y' \cdot - 23$ .

$y' (- 2 y - 23) = - 8$

Langkah 1.5.4

Bagi setiap suku pada $y' (- 2 y - 23) = - 8$ dengan $- 2 y - 23$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.1

Bagilah setiap suku di $y' (- 2 y - 23) = - 8$ dengan $- 2 y - 23$ .

$\frac{y' (- 2 y - 23)}{- 2 y - 23} = \frac{- 8}{- 2 y - 23}$

Langkah 1.5.4.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2 y - 23$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{y' (- 2 y - 23)}{- 2 y - 23} = \frac{- 8}{- 2 y - 23}$

Langkah 1.5.4.2.1.2

Bagilah $y'$ dengan $1$ .

$y' = \frac{- 8}{- 2 y - 23}$

Langkah 1.5.4.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - \frac{8}{- 2 y - 23}$

Langkah 1.5.4.3.2

Faktorkan $- 1$ dari $- 2 y$ .

$y' = - \frac{8}{- (2 y) - 23}$

Langkah 1.5.4.3.3

Tulis kembali $- 23$ sebagai $- 1 (23)$ .

$y' = - \frac{8}{- (2 y) - 1 (23)}$

Langkah 1.5.4.3.4

Faktorkan $- 1$ dari $- (2 y) - 1 (23)$ .

$y' = - \frac{8}{- (2 y + 23)}$

Langkah 1.5.4.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.5.4.3.5.1

Tulis kembali $- (2 y + 23)$ sebagai $- 1 (2 y + 23)$ .

$y' = - \frac{8}{- 1 (2 y + 23)}$

Langkah 1.5.4.3.5.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y' = - - \frac{8}{2 y + 23}$

Langkah 1.5.4.3.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$y' = 1 \frac{8}{2 y + 23}$

Langkah 1.5.4.3.5.4

Kalikan $\frac{8}{2 y + 23}$ dengan $1$ .

$y' = \frac{8}{2 y + 23}$

Langkah 1.6

Ganti $y'$ dengan $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{8}{2 y + 23}$

Langkah 1.7

Evaluasi pada $x = 3$ dan $y = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.1

Ganti variabel $x$ dengan $3$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{8}{2 y + 23}$

Langkah 1.7.2

Ganti variabel $y$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$\frac{8}{2 (1) + 23}$

Langkah 1.7.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.7.3.1

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\frac{8}{2 + 23}$

Langkah 1.7.3.2

Tambahkan $2$ dan $23$ .

$\frac{8}{25}$

Langkah 2

Masukkan nilai gradien dan titik koordinat ke dalam rumus persamaan garis lurus dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Gunakan gradien $\frac{8}{25}$ dan titik yang diberikan $(3, 1)$ untuk menggantikan $x_{1}$ dan $y_{1}$ dalam bentuk titik kemiringan $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , yang diturunkan dari persamaan gradien $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = \frac{8}{25} \cdot (x - (3))$

Langkah 2.2

Sederhanakan persamaannya dan pastikan tetap dalam bentuk titik kemiringan.

$y - 1 = \frac{8}{25} \cdot (x - 3)$

Langkah 2.3

Selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan $\frac{8}{25} \cdot (x - 3)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali.

$y - 1 = 0 + 0 + \frac{8}{25} \cdot (x - 3)$

Langkah 2.3.1.2

Sederhanakan dengan menambahkan nol.

$y - 1 = \frac{8}{25} \cdot (x - 3)$

Langkah 2.3.1.3

Terapkan sifat distributif.

$y - 1 = \frac{8}{25} x + \frac{8}{25} \cdot - 3$

Langkah 2.3.1.4

Gabungkan $\frac{8}{25}$ dan $x$ .

$y - 1 = \frac{8 x}{25} + \frac{8}{25} \cdot - 3$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $\frac{8}{25} \cdot - 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Gabungkan $\frac{8}{25}$ dan $- 3$ .

$y - 1 = \frac{8 x}{25} + \frac{8 \cdot - 3}{25}$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $8$ dengan $- 3$ .

$y - 1 = \frac{8 x}{25} + \frac{- 24}{25}$

Langkah 2.3.1.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$y - 1 = \frac{8 x}{25} - \frac{24}{25}$

Langkah 2.3.2

Pindahkan semua suku yang tidak mengandung $y$ ke sisi kanan dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$y = \frac{8 x}{25} - \frac{24}{25} + 1$

Langkah 2.3.2.2

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$y = \frac{8 x}{25} - \frac{24}{25} + \frac{25}{25}$

Langkah 2.3.2.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$y = \frac{8 x}{25} + \frac{- 24 + 25}{25}$

Langkah 2.3.2.4

Tambahkan $- 24$ dan $25$ .

$y = \frac{8 x}{25} + \frac{1}{25}$

Langkah 2.3.3

Susun kembali suku-suku.

$y = \frac{8}{25} x + \frac{1}{25}$

Langkah 3