Kalkulus Contoh

$x + e^{- 4 x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + e^{- 4 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Langkah 1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 1.2.2

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Langkah 1.2.4

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Langkah 1.2.5

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Langkah 2

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 - 4 e^{- 4 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 4 e^{- 4 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 4 e^{- 4 x})$

Langkah 2.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 4 e^{- 4 x})$

Langkah 2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- 4 e^{- 4 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 e^{- 4 x}$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \frac{d}{d x} e^{- 4 x}$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 4 x$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{u} \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Langkah 2.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 4 x$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} \frac{d}{d x} (- 4 x))$

Langkah 2.2.3

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} x))$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1))$

Langkah 2.2.5

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (e^{- 4 x} \cdot - 4)$

Langkah 2.2.6

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = 0 - 4 (- 4 \cdot e^{- 4 x})$

Langkah 2.2.7

Kalikan $- 4$ dengan $- 4$ .

$f'' (x) = 0 + 16 e^{- 4 x}$

Langkah 2.3

Tambahkan $0$ dan $16 e^{- 4 x}$ .

$f'' (x) = 16 e^{- 4 x}$

Langkah 3

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Langkah 4

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x + e^{- 4 x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Langkah 4.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$

Langkah 4.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- 4 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - 4 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- 4 x$ .

$1 + \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 4.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$1 + e^{u} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 4.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- 4 x$ .

$1 + e^{- 4 x} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Langkah 4.1.2.2

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 4 x$ terhadap $x$ adalah $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 4.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + e^{- 4 x} (- 4 \cdot 1)$

Langkah 4.1.2.4

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$1 + e^{- 4 x} \cdot - 4$

Langkah 4.1.2.5

Pindahkan $- 4$ ke sebelah kiri $e^{- 4 x}$ .

$f' (x) = 1 - 4 e^{- 4 x}$

Langkah 4.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $1 - 4 e^{- 4 x}$ .

$1 - 4 e^{- 4 x}$

Langkah 5

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $1 - 4 e^{- 4 x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$1 - 4 e^{- 4 x} = 0$

Langkah 5.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 4 e^{- 4 x} = - 1$

Langkah 5.3

Bagi setiap suku pada $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Bagilah setiap suku di $- 4 e^{- 4 x} = - 1$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 5.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 e^{- 4 x}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 5.3.2.1.2

Bagilah $e^{- 4 x}$ dengan $1$ .

$e^{- 4 x} = \frac{- 1}{- 4}$

Langkah 5.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.3.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$e^{- 4 x} = \frac{1}{4}$

Langkah 5.4

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- 4 x}) = \ln (\frac{1}{4})$

Langkah 5.5

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Perluas $\ln (e^{- 4 x})$ dengan memindahkan $- 4 x$ ke luar logaritma.

$- 4 x \ln (e) = \ln (\frac{1}{4})$

Langkah 5.5.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- 4 x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{4})$

Langkah 5.5.3

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$

Langkah 5.6

Bagi setiap suku pada $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ dengan $- 4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.1

Bagilah setiap suku di $- 4 x = \ln (\frac{1}{4})$ dengan $- 4$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Langkah 5.6.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Langkah 5.6.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{1}{4})}{- 4}$

Langkah 5.6.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.6.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Langkah 6

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 7

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$

Langkah 8

Evaluasi turunan kedua pada $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$16 e^{- 4 (- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4})}$

Langkah 9

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$16 e^{- 4 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Langkah 9.1.2

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$16 e^{4 (- 1) \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Langkah 9.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$16 e^{4 \cdot - 1 \frac{- \ln (\frac{1}{4})}{4}}$

Langkah 9.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$16 e^{- 1 (- \ln (\frac{1}{4}))}$

Langkah 9.2

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$16 e^{1 \ln (\frac{1}{4})}$

Langkah 9.2.2

Kalikan $\ln (\frac{1}{4})$ dengan $1$ .

$16 e^{\ln (\frac{1}{4})}$

Langkah 9.3

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$16 (\frac{1}{4})$

Langkah 9.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.4.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$4 (4) \frac{1}{4}$

Langkah 9.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \cdot 4 \frac{1}{4}$

Langkah 9.4.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4$

Langkah 10

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ adalah minimum lokal

Langkah 11

Tentukan nilai y ketika $x = - \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Simplify $- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ to substitute in $f (x) = x + e^{- 4 x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Tulis kembali $\frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}$ sebagai $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ .

$y = - (\frac{1}{4} \cdot \ln (\frac{1}{4}))$

Langkah 11.1.2

Sederhanakan $\frac{1}{4} \ln (\frac{1}{4})$ dengan memindahkan $\frac{1}{4}$ ke dalam logaritma.

$y = - \ln ({(\frac{1}{4})}^{\frac{1}{4}})$

Langkah 11.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{4}$ .

$y = - \ln (\frac{1^{\frac{1}{4}}}{4^{\frac{1}{4}}})$

Langkah 11.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$y = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})$

Langkah 11.2

Ganti variabel $x$ dengan $- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) + e^{- 4 (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}))}$

Langkah 11.3

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.1

Kalikan $- 4 (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{4 \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})}$

Langkah 11.3.1.1.2

Sederhanakan $4 \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})$ dengan memindahkan $4$ ke dalam logaritma.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + e^{\ln ({(\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})}^{4})}$

Langkah 11.3.1.2

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + {(\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})}^{4}$

Langkah 11.3.1.3

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1^{4}}{{(4^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Langkah 11.3.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{{(4^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Langkah 11.3.1.5

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.5.1

Kalikan eksponen dalam ${(4^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.5.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Langkah 11.3.1.5.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1.5.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Langkah 11.3.1.5.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Langkah 11.3.1.5.2

Evaluasi eksponennya.

$f (- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}})) = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Langkah 11.3.2

Jawaban akhirnya adalah $- \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$ .

$y = - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4}$

Langkah 12

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = x + e^{- 4 x}$ .

$(- \frac{\ln (\frac{1}{4})}{4}, - \ln (\frac{1}{4^{\frac{1}{4}}}) + \frac{1}{4})$ adalah minimum lokal

Langkah 13