Kalkulus Contoh

$f (x) = 2 x^{\frac{2}{9}} - \frac{2}{x^{4}} + 6 x + 2 \cos (x) + \ln (5)$

Langkah 1

Fungsi $F (x)$ dapat ditemukan dengan mencari integral tak tentu dari turunan $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Langkah 2

Buat integral untuk dipecahkan.

$F (x) = \int 2 x^{\frac{2}{9}} - \frac{2}{x^{4}} + 6 x + 2 \cos (x) + \ln (5) d x$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 2 x^{\frac{2}{9}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 4

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 \int x^{\frac{2}{9}} d x + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{2}{9}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{9}{11} x^{\frac{11}{9}}$ .

$2 (\frac{9}{11} x^{\frac{11}{9}} + C) + \int - \frac{2}{x^{4}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 6

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$2 (\frac{9}{11} x^{\frac{11}{9}} + C) - \int \frac{2}{x^{4}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 7

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 (\frac{9}{11} x^{\frac{11}{9}} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 8

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1.1

Gabungkan $\frac{9}{11}$ dan $x^{\frac{11}{9}}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - (2 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 8.1.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 8.2

Terapkan aturan-aturan dasar eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Pindahkan $x^{4}$ dari penyebut dengan menaikkannya menjadi pangkat $- 1$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 8.2.2

Kalikan eksponen dalam ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 8.2.2.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 \int x^{- 4} d x + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 9

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{- 4}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $x^{- 3}$ dan $\frac{1}{3}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 10.2

Pindahkan $x^{- 3}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + \int 6 x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 11

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 \int x d x + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 12

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 13

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int 2 \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 14

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $2$ keluar dari integral.

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 \int \cos (x) d x + \int \ln (5) d x$

Langkah 15

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (\sin (x) + C) + \int \ln (5) d x$

Langkah 16

Terapkan aturan konstanta.

$2 (\frac{9 x^{\frac{11}{9}}}{11} + C) - 2 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C) + 6 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 2 (\sin (x) + C) + \ln (5) x + C$

Langkah 17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 17.1

Sederhanakan.

$\frac{18 x^{\frac{11}{9}}}{11} + \frac{2}{3 x^{3}} + 3 x^{2} + 2 \sin (x) + \ln (5) x + C$

Langkah 17.2

Susun kembali suku-suku.

$\frac{18}{11} x^{\frac{11}{9}} + \frac{2}{3 x^{3}} + 3 x^{2} + 2 \sin (x) + \ln (5) x + C$

Langkah 18

Jawabannya adalah antiturunan dari fungsi $f (x) = 2 x^{\frac{2}{9}} - \frac{2}{x^{4}} + 6 x + 2 \cos (x) + \ln (5)$ .

$F (x) =$ $\frac{18}{11} x^{\frac{11}{9}} + \frac{2}{3 x^{3}} + 3 x^{2} + 2 \sin (x) + \ln (5) x + C$