Kalkulus Contoh

$f'' (x) = x^{6} - 4 x^{4} + x + 1$

Langkah 1

Fungsi $f' (x)$ dapat ditemukan dengan mengevaluasi integral tak tentu dari turunan $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int x^{6} d x + \int - 4 x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

Langkah 3

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{6}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - 4 x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

Langkah 4

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 \int x^{4} d x + \int x d x + \int d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int x d x + \int d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Langkah 7

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int d x$

Langkah 8

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 4 (\frac{x^{5}}{5} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + x + C$

Langkah 9

Sederhanakan.

$\frac{x^{7}}{7} - \frac{4 x^{5}}{5} + \frac{x^{2}}{2} + x + C$

Langkah 10

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{7} x^{7} - \frac{4}{5} x^{5} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Langkah 11

Fungsi $f'$ jika berasal dari integral turunan dari fungsi. Ini valid oleh teorema dasar kalkulus.

$f' (x) = \frac{1}{7} x^{7} - \frac{4}{5} x^{5} + \frac{1}{2} x^{2} + x + C$

Langkah 12

Fungsi $f (x)$ dapat ditemukan dengan mengevaluasi integral tak tentu dari turunan $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Langkah 13

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int \frac{1}{7} x^{7} d x + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Langkah 14

Karena $\frac{1}{7}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{7}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{7} \int x^{7} d x + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Langkah 15

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{7}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int - \frac{4}{5} x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Langkah 16

Karena $- \frac{4}{5}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- \frac{4}{5}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} \int x^{5} d x + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Langkah 17

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{5}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int \frac{1}{2} x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Langkah 18

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} \int x^{2} d x + \int x d x + \int C d x$

Langkah 19

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int x d x + \int C d x$

Langkah 20

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + \int C d x$

Langkah 21

Terapkan aturan konstanta.

$\frac{1}{7} (\frac{1}{8} x^{8} + C) - \frac{4}{5} (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \frac{1}{2} x^{2} + C + C x + C$

Langkah 22

Sederhanakan.

$\frac{x^{8}}{56} - \frac{2 x^{6}}{15} + \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{2}}{2} + C x + C$

Langkah 23

Susun kembali suku-suku.

$\frac{1}{56} x^{8} - \frac{2}{15} x^{6} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + C$

Langkah 24

Fungsi $f$ jika berasal dari integral turunan dari fungsi. Ini valid oleh teorema dasar kalkulus.

$f (x) = \frac{1}{56} x^{8} - \frac{2}{15} x^{6} + \frac{1}{6} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} + C x + C$