Kalkulus Contoh

$f'' (x) = - 2 + 30 x - 12 x^{2}$

Langkah 1

Fungsi $f' (x)$ dapat ditemukan dengan mengevaluasi integral tak tentu dari turunan $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 2 d x + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Langkah 3

Terapkan aturan konstanta.

$- 2 x + C + \int 30 x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Langkah 4

Karena $30$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $30$ keluar dari integral.

$- 2 x + C + 30 \int x d x + \int - 12 x^{2} d x$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 12 x^{2} d x$

Langkah 6

Karena $- 12$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 12$ keluar dari integral.

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 \int x^{2} d x$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 x + C + 30 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Langkah 8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Sederhanakan.

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Langkah 8.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} - 12 \frac{x^{3}}{3} + C$

Langkah 8.2.2

Gabungkan $- 12$ dan $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 12 x^{3}}{3} + C$

Langkah 8.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $- 12$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Faktorkan $3$ dari $- 12 x^{3}$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3} + C$

Langkah 8.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 (1)} + C$

Langkah 8.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{3 (- 4 x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Langkah 8.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 2 x + 15 x^{2} + \frac{- 4 x^{3}}{1} + C$

Langkah 8.2.3.2.4

Bagilah $- 4 x^{3}$ dengan $1$ .

$- 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

Langkah 9

Fungsi $f'$ jika berasal dari integral turunan dari fungsi. Ini valid oleh teorema dasar kalkulus.

$f' (x) = - 2 x + 15 x^{2} - 4 x^{3} + C$

Langkah 10

Fungsi $f (x)$ dapat ditemukan dengan mengevaluasi integral tak tentu dari turunan $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Langkah 11

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int - 2 x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Langkah 12

Karena $- 2$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 2$ keluar dari integral.

$- 2 \int x d x + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Langkah 13

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 15 x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Langkah 14

Karena $15$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $15$ keluar dari integral.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 \int x^{2} d x + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Langkah 15

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 4 x^{3} d x + \int C d x$

Langkah 16

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 \int x^{3} d x + \int C d x$

Langkah 17

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int C d x$

Langkah 18

Terapkan aturan konstanta.

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Langkah 19

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 19.1.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Langkah 19.1.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + C x + C$

Langkah 19.1.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 15 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 4 (\frac{x^{4}}{4} + C) + C x + C$

Langkah 19.2

Sederhanakan.

$- x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$

Langkah 20

Fungsi $f$ jika berasal dari integral turunan dari fungsi. Ini valid oleh teorema dasar kalkulus.

$f (x) = - x^{2} + 5 x^{3} - x^{4} + C x + C$