Kalkulus Contoh

$x = y^{2}$ , $x = 3 y$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (y)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ di mana $f (y) = 3 y$ dan $g (y) = y^{2}$

Langkah 2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $3 y$ .

$V = 3^{2} y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.2

Naikkan $3$ menjadi pangkat $2$ .

$V = 9 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.3

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

Langkah 2.3.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = 9 y^{2} - y^{4}$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{0}^{3} 9 y^{2} d y + \int_{0}^{3} - y^{4} d y)$

Langkah 4

Karena $9$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $9$ keluar dari integral.

$V = π (9 \int_{0}^{3} y^{2} d y + \int_{0}^{3} - y^{4} d y)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (9 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{4} d y)$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$V = π (9 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) + \int_{0}^{3} - y^{4} d y)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$V = π (9 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) - \int_{0}^{3} y^{4} d y)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{4}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$V = π (9 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{1}{5} y^{5}]_{0}^{3}))$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $y^{5}$ .

$V = π (9 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{3}) - (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{3}))$

Langkah 9.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Evaluasi $\frac{y^{3}}{3}$ pada $3$ dan pada $0$ .

$V = π (9 ((\frac{3^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{y^{5}}{5}]_{0}^{3}))$

Langkah 9.2.2

Evaluasi $\frac{y^{5}}{5}$ pada $3$ dan pada $0$ .

$V = π (9 (\frac{3^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (9 (\frac{27}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $27$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $27$ .

$V = π (9 (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.2.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (9 (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (9 (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (9 (\frac{9}{1} - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.2.2.4

Bagilah $9$ dengan $1$ .

$V = π (9 (9 - \frac{0^{3}}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.3

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (9 (9 - \frac{0}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.4.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$V = π (9 (9 - \frac{3 (0)}{3}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.4.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (9 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (9 (9 - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (9 (9 - \frac{0}{1}) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.4.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (9 (9 - 0) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (9 (9 + 0) - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.6

Tambahkan $9$ dan $0$ .

$V = π (9 \cdot 9 - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.7

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$V = π (81 - (\frac{3^{5}}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.8

Naikkan $3$ menjadi pangkat $5$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{0^{5}}{5}))$

Langkah 9.2.3.9

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{0}{5}))$

Langkah 9.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.10.1

Faktorkan $5$ dari $0$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{5 (0)}{5}))$

Langkah 9.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.10.2.1

Faktorkan $5$ dari $5$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Langkah 9.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1}))$

Langkah 9.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - \frac{0}{1}))$

Langkah 9.2.3.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} - 0))$

Langkah 9.2.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (81 - (\frac{243}{5} + 0))$

Langkah 9.2.3.12

Tambahkan $\frac{243}{5}$ dan $0$ .

$V = π (81 - \frac{243}{5})$

Langkah 9.2.3.13

Untuk menuliskan $81$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (81 \cdot \frac{5}{5} - \frac{243}{5})$

Langkah 9.2.3.14

Gabungkan $81$ dan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{81 \cdot 5}{5} - \frac{243}{5})$

Langkah 9.2.3.15

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{81 \cdot 5 - 243}{5})$

Langkah 9.2.3.16

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.16.1

Kalikan $81$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{405 - 243}{5})$

Langkah 9.2.3.16.2

Kurangi $243$ dengan $405$ .

$V = π (\frac{162}{5})$

Langkah 9.2.3.17

Gabungkan $π$ dan $\frac{162}{5}$ .

$V = \frac{π \cdot 162}{5}$

Langkah 9.2.3.18

Pindahkan $162$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{162 π}{5}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{162 π}{5}$

Bentuk Desimal:

$V = 101.78760197 \dots$

Langkah 11