Kalkulus Contoh

$f (x) = 12 - 3 x^{2}$ ; $[0, 7]$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$12 - 3 x^{2} = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $12 - 3 x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $12$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 3 x^{2} = - 12$

Langkah 1.2.2

Bagi setiap suku pada $- 3 x^{2} = - 12$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 3 x^{2} = - 12$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 12}{- 3}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Bagilah $- 12$ dengan $- 3$ .

$x^{2} = 4$

Langkah 1.2.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{4}$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan $\pm \sqrt{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Langkah 1.2.4.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 2$

Langkah 1.2.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2$

Langkah 1.2.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2$

Langkah 1.2.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2, - 2$

Langkah 1.3

Substitusikan $2$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(2, 0)$

$(- 2, 0)$

$(2, 0)$

$(- 2, 0)$

Langkah 2

Susun kembali $12$ dan $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 12$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{2} - 3 x^{2} + 12 d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{2} - 3 x^{2} + 12 - (0) d x$

Langkah 4.2

Kurangi $0$ dengan $- 3 x^{2} + 12$ .

$\int_{0}^{2} - 3 x^{2} + 12 d x$

Langkah 4.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 12 d x$

Langkah 4.4

Karena $- 3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 3$ keluar dari integral.

$- 3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 12 d x$

Langkah 4.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 d x$

Langkah 4.6

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 12 d x$

Langkah 4.7

Terapkan aturan konstanta.

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 12 x]_{0}^{2}$

Langkah 4.8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $2$ dan pada $0$ .

$- 3 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 12 x]_{0}^{2}$

Langkah 4.8.2

Evaluasi $12 x$ pada $2$ dan pada $0$ .

$- 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$- 3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$- 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.3.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$- 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.3.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$- 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$- 3 (\frac{8}{3} - 0) + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$- 3 (\frac{8}{3} + 0) + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.5

Tambahkan $\frac{8}{3}$ dan $0$ .

$- 3 (\frac{8}{3}) + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.6

Gabungkan $- 3$ dan $\frac{8}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 8}{3} + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.7

Kalikan $- 3$ dengan $8$ .

$\frac{- 24}{3} + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $- 24$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.8.1

Faktorkan $3$ dari $- 24$ .

$\frac{3 \cdot - 8}{3} + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.8.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot - 8}{3 (1)} + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 1} + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{- 8}{1} + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.8.2.4

Bagilah $- 8$ dengan $1$ .

$- 8 + 12 \cdot 2 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.9

Kalikan $12$ dengan $2$ .

$- 8 + 24 - 12 \cdot 0$

Langkah 4.8.3.10

Kalikan $- 12$ dengan $0$ .

$- 8 + 24 + 0$

Langkah 4.8.3.11

Tambahkan $24$ dan $0$ .

$- 8 + 24$

Langkah 4.8.3.12

Tambahkan $- 8$ dan $24$ .

$16$

Langkah 5

$A r e a = \int_{2}^{7} 0 d x - \int_{2}^{7} - 3 x^{2} + 12 d x$

Langkah 6

Integralkan untuk menghitung luas antara $2$ dan $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{2}^{7} 0 - (- 3 x^{2} + 12) d x$

Langkah 6.2

Kurangi $- 3 x^{2} + 12$ dengan $0$ .

$\int_{2}^{7} - (- 3 x^{2} + 12) d x$

Langkah 6.3

Terapkan sifat distributif.

$\int_{2}^{7} - (- 3 x^{2}) - 1 \cdot 12 d x$

Langkah 6.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.4.1

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$3 x^{2} - 1 \cdot 12$

Langkah 6.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $12$ .

$3 x^{2} - 12$

$\int_{2}^{7} 3 x^{2} - 12 d x$

Langkah 6.5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{2}^{7} 3 x^{2} d x + \int_{2}^{7} - 12 d x$

Langkah 6.6

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $3$ keluar dari integral.

$3 \int_{2}^{7} x^{2} d x + \int_{2}^{7} - 12 d x$

Langkah 6.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{2}^{7}) + \int_{2}^{7} - 12 d x$

Langkah 6.8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{7}) + \int_{2}^{7} - 12 d x$

Langkah 6.9

Terapkan aturan konstanta.

$3 (\frac{x^{3}}{3}]_{2}^{7}) + - 12 x]_{2}^{7}$

Langkah 6.10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.1

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $7$ dan pada $2$ .

$3 ((\frac{7^{3}}{3}) - \frac{2^{3}}{3}) + - 12 x]_{2}^{7}$

Langkah 6.10.2

Evaluasi $- 12 x$ pada $7$ dan pada $2$ .

$3 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{2^{3}}{3}) + - 12 \cdot 7 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.3.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $3$ .

$3 (\frac{343}{3} - \frac{2^{3}}{3}) - 12 \cdot 7 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3.2

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$3 (\frac{343}{3} - \frac{8}{3}) - 12 \cdot 7 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$3 \frac{343 - 8}{3} - 12 \cdot 7 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3.4

Kurangi $8$ dengan $343$ .

$3 (\frac{335}{3}) - 12 \cdot 7 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3.5

Gabungkan $3$ dan $\frac{335}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 335}{3} - 12 \cdot 7 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3.6

Kalikan $3$ dengan $335$ .

$\frac{1005}{3} - 12 \cdot 7 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $1005$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.3.7.1

Faktorkan $3$ dari $1005$ .

$\frac{3 \cdot 335}{3} - 12 \cdot 7 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.10.3.7.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$\frac{3 \cdot 335}{3 (1)} - 12 \cdot 7 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 \cdot 335}{3 \cdot 1} - 12 \cdot 7 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{335}{1} - 12 \cdot 7 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3.7.2.4

Bagilah $335$ dengan $1$ .

$335 - 12 \cdot 7 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3.8

Kalikan $- 12$ dengan $7$ .

$335 - 84 + 12 \cdot 2$

Langkah 6.10.3.9

Kalikan $12$ dengan $2$ .

$335 - 84 + 24$

Langkah 6.10.3.10

Tambahkan $- 84$ dan $24$ .

$335 - 60$

Langkah 6.10.3.11

Kurangi $60$ dengan $335$ .

$275$

Langkah 7

Tambahkan $16$ dan $275$ .

$291$

Langkah 8