Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ ; $[1, e^{3}]$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $\frac{1}{x} - \frac{1}{e} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tambahkan $\frac{1}{e}$ ke kedua sisi persamaan.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$

Langkah 1.2.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x, e + y = 0$

Langkah 1.2.2.2

Karena $x, e$ memiliki bilangan dan variabel, ada dua langkah untuk menemukan KPK. Temukan KPK untuk bagian numerik $1, 1$ kemudian temukan KPK untuk bagian variabel $x^{1}$ .

Langkah 1.2.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

$1$ Daftar faktor prima dari masing-masing bilangan.

Langkah 1.2.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 1.2.2.5

KPK dari $1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1 + y = 0$

Langkah 1.2.2.6

Faktor untuk $x^{1}$ adalah $x$ itu sendiri.

$x = x$

Langkah 1.2.2.7

KPK dari $x^{1}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$x + y = 0$

Langkah 1.2.3

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ dengan $x$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{x} = \frac{1}{e}$ dengan $x$ .

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Langkah 1.2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x} x = \frac{1}{e} x$

Langkah 1.2.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = \frac{1}{e} x$

Langkah 1.2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Gabungkan $\frac{1}{e}$ dan $x$ .

$1 = \frac{x}{e}$

Langkah 1.2.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $\frac{x}{e} = 1$ .

$\frac{x}{e} = 1$

Langkah 1.2.4.2

Kalikan kedua sisi persamaan dengan $e$ .

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Langkah 1.2.4.3

Sederhanakan kedua sisi dari persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.3.1

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.3.1.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$e \frac{x}{e} = e \cdot 1$

Langkah 1.2.4.3.1.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x = e \cdot 1$

Langkah 1.2.4.3.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.3.2.1

Kalikan $e$ dengan $1$ .

$x = e$

Langkah 1.3

Substitusikan $e$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(e, 0)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x - \int_{1}^{e} 0 d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $1$ dan $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} - (0) d x$

Langkah 3.2

Kurangi $0$ dengan $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ .

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Langkah 3.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + \int_{1}^{e} - \frac{1}{e} d x$

Langkah 3.5

Terapkan aturan konstanta.

$\ln (| x |)]_{1}^{e} + - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Langkah 3.6

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Gabungkan $\ln (| x |)]_{1}^{e}$ dan $- \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$ .

$\ln (| x |) - \frac{1}{e} x]_{1}^{e}$

Langkah 3.6.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.1

Evaluasi $\ln (| x |) - \frac{1}{e} x$ pada $e$ dan pada $1$ .

$(\ln (| e |) - \frac{1}{e} e) - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Langkah 3.6.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.2.1

Gabungkan $e$ dan $\frac{1}{e}$ .

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Langkah 3.6.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| e |) - \frac{e}{e} - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Langkah 3.6.2.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| e |) - 1 \cdot 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Langkah 3.6.2.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e} \cdot 1)$

Langkah 3.6.2.2.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (| e |) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Langkah 3.7

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.1

$e$ mendekati $2.71828182$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$\ln (e) - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Langkah 3.7.1.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$1 - 1 - (\ln (| 1 |) - \frac{1}{e})$

Langkah 3.7.1.3

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.3.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$1 - 1 - (\ln (1) - \frac{1}{e})$

Langkah 3.7.1.3.2

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$1 - 1 - (0 - \frac{1}{e})$

Langkah 3.7.1.4

Kurangi $\frac{1}{e}$ dengan $0$ .

$1 - 1 - - \frac{1}{e}$

Langkah 3.7.1.5

Kalikan $- - \frac{1}{e}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.7.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 - 1 + 1 \frac{1}{e}$

Langkah 3.7.1.5.2

Kalikan $\frac{1}{e}$ dengan $1$ .

$1 - 1 + \frac{1}{e}$

Langkah 3.7.2

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$0 + \frac{1}{e}$

Langkah 3.7.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Langkah 4

$A r e a = \int_{e}^{e^{3}} 0 d x - \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} - \frac{1}{e} d x$

Langkah 5

Integralkan untuk menghitung luas antara $e$ dan $e^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{e}^{e^{3}} 0 - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Langkah 5.2

Kurangi $\frac{1}{x} - \frac{1}{e}$ dengan $0$ .

$\int_{e}^{e^{3}} - (\frac{1}{x} - \frac{1}{e}) d x$

Langkah 5.3

Terapkan sifat distributif.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} + \frac{1}{e} d x$

Langkah 5.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{e}^{e^{3}} - \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Langkah 5.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{x} d x + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Langkah 5.6

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \int_{e}^{e^{3}} \frac{1}{e} d x$

Langkah 5.7

Terapkan aturan konstanta.

$- (\ln (| x |)]_{e}^{e^{3}}) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Langkah 5.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1.1

Evaluasi $\ln (| x |)$ pada $e^{3}$ dan pada $e$ .

$- ((\ln (| e^{3} |)) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} x]_{e}^{e^{3}}$

Langkah 5.8.1.2

Evaluasi $\frac{1}{e} x$ pada $e^{3}$ dan pada $e$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{1}{e} e^{3} - \frac{1}{e} e$

Langkah 5.8.1.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1.3.1

Gabungkan $\frac{1}{e}$ dan $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{3}}{e} - \frac{1}{e} e$

Langkah 5.8.1.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $e^{3}$ dan $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1.3.2.1

Faktorkan $e$ dari $e^{3}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e} - \frac{1}{e} e$

Langkah 5.8.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1.3.2.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Langkah 5.8.1.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e e^{2}}{e \cdot 1} - \frac{1}{e} e$

Langkah 5.8.1.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + \frac{e^{2}}{1} - \frac{1}{e} e$

Langkah 5.8.1.3.2.2.4

Bagilah $e^{2}$ dengan $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{1}{e} e$

Langkah 5.8.1.3.3

Gabungkan $e$ dan $\frac{1}{e}$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Langkah 5.8.1.3.4

Batalkan faktor persekutuan dari $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1.3.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - \frac{e}{e}$

Langkah 5.8.1.3.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 5.8.1.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$- (\ln (| e^{3} |) - \ln (| e |)) + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.2

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| e^{3} |}{| e |}) + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1

$e^{3}$ mendekati $20.08553692$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$- \ln (\frac{e^{3}}{| e |}) + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.3.2

$e$ mendekati $2.71828182$ yang positif sehingga menghapus nilai mutlak

$- \ln (\frac{e^{3}}{e}) + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $e^{3}$ dan $e$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.3.1

Faktorkan $e$ dari $e^{3}$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e}) + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.3.2.1

Kalikan dengan $1$ .

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- \ln (\frac{e e^{2}}{e \cdot 1}) + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- \ln (\frac{e^{2}}{1}) + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.3.3.2.4

Bagilah $e^{2}$ dengan $1$ .

$- \ln (e^{2}) + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.3.4

Gunakan aturan logaritma untuk memindahkan $2$ keluar dari eksponen.

$- (2 \ln (e)) + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.3.5

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$- (2 \cdot 1) + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.3.6

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$- 1 \cdot 2 + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$- 2 + e^{2} - 1$

Langkah 5.8.3.8

Kurangi $1$ dengan $- 2$ .

$e^{2} - 3$

Langkah 6