Kalkulus Contoh

$f (x) = 4 e^{x} - 3$ ; $[- 4, 3]$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$4 e^{x} - 3 = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $4 e^{x} - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$4 e^{x} = 3$

Langkah 1.2.2

Bagi setiap suku pada $4 e^{x} = 3$ dengan $4$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Bagilah setiap suku di $4 e^{x} = 3$ dengan $4$ .

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{4 e^{x}}{4} = \frac{3}{4}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Bagilah $e^{x}$ dengan $1$ .

$e^{x} = \frac{3}{4}$

Langkah 1.2.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 1.2.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Perluas $\ln (e^{x})$ dengan memindahkan $x$ ke luar logaritma.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 1.2.4.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 1.2.4.3

Kalikan $x$ dengan $1$ .

$x = \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 1.3

Substitusikan $\ln (\frac{3}{4})$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(\ln (\frac{3}{4}), 0)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 d x - \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 4 e^{x} - 3 d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 4$ dan $\ln (\frac{3}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Langkah 3.2

Kurangi $4 e^{x} - 3$ dengan $0$ .

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x} - 3) d x$

Langkah 3.3

Terapkan sifat distributif.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Langkah 3.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Langkah 3.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} + 3 d x$

Langkah 3.5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} - 4 e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Langkah 3.6

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$- 4 \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} e^{x} d x + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Langkah 3.7

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + \int_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})} 3 d x$

Langkah 3.8

Terapkan aturan konstanta.

$- 4 (e^{x}]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Langkah 3.9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.1

Evaluasi $e^{x}$ pada $\ln (\frac{3}{4})$ dan pada $- 4$ .

$- 4 ((e^{\ln (\frac{3}{4})}) - e^{- 4}) + 3 x]_{- 4}^{\ln (\frac{3}{4})}$

Langkah 3.9.2

Evaluasi $3 x$ pada $\ln (\frac{3}{4})$ dan pada $- 4$ .

$- 4 (e^{\ln (\frac{3}{4})} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Langkah 3.9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.9.3.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) - 3 \cdot - 4$

Langkah 3.9.3.2

Kalikan $- 3$ dengan $- 4$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - e^{- 4}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Langkah 3.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 (\frac{3}{4} - \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Langkah 3.10.1.2

Terapkan sifat distributif.

$- 4 (\frac{3}{4}) - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Langkah 3.10.1.3

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1.3.1

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Langkah 3.10.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 \cdot - 1 \frac{3}{4} - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Langkah 3.10.1.3.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- 1 \cdot 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Langkah 3.10.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$- 3 - 4 (- \frac{1}{e^{4}}) + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Langkah 3.10.1.5

Kalikan $- 4 (- \frac{1}{e^{4}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1.5.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 4$ .

$- 3 + 4 \frac{1}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Langkah 3.10.1.5.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{e^{4}}$ .

$- 3 + \frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 12$

Langkah 3.10.2

Tambahkan $- 3$ dan $12$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9$

Langkah 4

$A r e a = \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x - \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 d x$

Langkah 5

Integralkan untuk menghitung luas antara $\ln (\frac{3}{4})$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Integralkan untuk menghitung luas antara $\ln (\frac{3}{4})$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 0 - (4 e^{x} - 3) d x$

Langkah 5.1.2

Kurangi $4 e^{x} - 3$ dengan $0$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x} - 3) d x$

Langkah 5.1.3

Terapkan sifat distributif.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - (4 e^{x}) + 3 d x$

Langkah 5.1.4

Kalikan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.4.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$- 4 e^{x} - - 3$

Langkah 5.1.4.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$- 4 e^{x} + 3$

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} + 3 d x$

Langkah 5.1.5

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Langkah 5.1.6

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$- 4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Langkah 5.1.7

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 3 d x$

Langkah 5.1.8

Terapkan aturan konstanta.

$- 4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Langkah 5.1.9

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.9.1

Evaluasi $e^{x}$ pada $3$ dan pada $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Langkah 5.1.9.2

Evaluasi $3 x$ pada $3$ dan pada $\ln (\frac{3}{4})$ .

$- 4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.1.9.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.9.3.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 3 \cdot 3 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.1.9.3.2

Kalikan $3$ dengan $3$ .

$- 4 (e^{3} - \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.1.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.10.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.10.1.1

Terapkan sifat distributif.

$- 4 e^{3} - 4 (- \frac{3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.1.10.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.10.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$- 4 e^{3} - 4 (\frac{- 3}{4}) + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.1.10.1.2.2

Faktorkan $4$ dari $- 4$ .

$- 4 e^{3} + 4 (- 1) \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.1.10.1.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$- 4 e^{3} + 4 \cdot - 1 \frac{- 3}{4} + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.1.10.1.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- 4 e^{3} - - 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.1.10.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 3$ .

$- 4 e^{3} + 3 + 9 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.1.10.2

Tambahkan $3$ dan $9$ .

$- 4 e^{3} + 12 - 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.2

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 - (0) d x$

Langkah 5.3

Kurangi $0$ dengan $4 e^{x} - 3$ .

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} - 3 d x$

Langkah 5.4

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} 4 e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Langkah 5.5

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$4 \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} e^{x} d x + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Langkah 5.6

Integral dari $e^{x}$ terhadap $x$ adalah $e^{x}$ .

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + \int_{\ln (\frac{3}{4})}^{3} - 3 d x$

Langkah 5.7

Terapkan aturan konstanta.

$4 (e^{x}]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Langkah 5.8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.1

Evaluasi $e^{x}$ pada $3$ dan pada $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 ((e^{3}) - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 x]_{\ln (\frac{3}{4})}^{3}$

Langkah 5.8.2

Evaluasi $- 3 x$ pada $3$ dan pada $\ln (\frac{3}{4})$ .

$4 (e^{3} - e^{\ln (\frac{3}{4})}) + - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.8.3.1

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 3 \cdot 3 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.8.3.2

Kalikan $- 3$ dengan $3$ .

$4 (e^{3} - \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1.1

Terapkan sifat distributif.

$4 e^{3} + 4 (- \frac{3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.9.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.9.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{3}{4}$ ke dalam pembilangnya.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.9.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$4 e^{3} + 4 (\frac{- 3}{4}) - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.9.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$4 e^{3} - 3 - 9 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 5.9.2

Kurangi $9$ dengan $- 3$ .

$4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 6

Jumlahkan luas $\frac{4}{e^{4}} + 3 \ln (\frac{3}{4}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1.1

Sederhanakan $3 \ln (\frac{3}{4})$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 6.1.2

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 6.1.3

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{4^{3}}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 6.1.4

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + 3 \ln (\frac{3}{4})$

Langkah 6.1.5

Sederhanakan $3 \ln (\frac{3}{4})$ dengan memindahkan $3$ ke dalam logaritma.

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln ({(\frac{3}{4})}^{3})$

Langkah 6.1.6

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{3}{4}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{3^{3}}{4^{3}})$

Langkah 6.1.7

Naikkan $3$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{4^{3}})$

Langkah 6.1.8

Naikkan $4$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{4}{e^{4}} + \ln (\frac{27}{64}) + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64})$

Langkah 6.2

Gunakan sifat hasil kali dari logaritma, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64})$

Langkah 6.3

Kalikan $\frac{27}{64} \cdot \frac{27}{64}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Kalikan $\frac{27}{64}$ dengan $\frac{27}{64}$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{27 \cdot 27}{64 \cdot 64})$

Langkah 6.3.2

Kalikan $27$ dengan $27$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{64 \cdot 64})$

Langkah 6.3.3

Kalikan $64$ dengan $64$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 9 + 4 e^{3} - 12 + \ln (\frac{729}{4096})$

Langkah 6.4

Kurangi $12$ dengan $9$ .

$\frac{4}{e^{4}} + 4 e^{3} - 3 + \ln (\frac{729}{4096})$

Langkah 7