Kalkulus Contoh

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{\ln (7 x + 3) + 1}$

Langkah 1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to \infty} \ln (3 x + 5)}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + 1}$

Langkah 1.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + 1}$

Langkah 1.3

Evaluasi limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} \ln (7 x + 3) + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 1.3.2

Ketika log mendekati tak hingga, nilainya menjadi $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}$

Langkah 1.3.3

Evaluasi limit dari $1$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty + 1}$

Langkah 1.3.4

Tak hingga ditambah atau dikurangi sebuah bilangan hasilnya tak hingga.

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.3.5

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{\infty}{\infty}$

Langkah 2

Karena $\frac{\infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (3 x + 5)}{\ln (7 x + 3) + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Langkah 3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (3 x + 5)]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Langkah 3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 3 x + 5$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $3 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Langkah 3.2.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Langkah 3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $3 x + 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \frac{d}{d x} [3 x + 5]}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Langkah 3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 x + 5$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Langkah 3.4

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 x$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Langkah 3.5

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Langkah 3.6

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Langkah 3.7

Karena $5$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $5$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} (3 + 0)}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Langkah 3.8

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{3 x + 5} \cdot 3}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Langkah 3.9

Gabungkan $\frac{1}{3 x + 5}$ dan $3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3) + 1]}$

Langkah 3.10

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\ln (7 x + 3) + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)] + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.11

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\ln (7 x + 3)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = 7 x + 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.11.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $7 x + 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.11.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.11.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $7 x + 3$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} \frac{d}{d x} [7 x + 3] + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.11.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $7 x + 3$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.11.3

Karena $7$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $7 x$ terhadap $x$ adalah $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.11.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.11.5

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.11.6

Kalikan $7$ dengan $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} (7 + 0) + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.11.7

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{1}{7 x + 3} \cdot 7 + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.11.8

Gabungkan $\frac{1}{7 x + 3}$ dan $7$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3} + \frac{d}{d x} [1]}$

Langkah 3.12

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3} + 0}$

Langkah 3.13

Tambahkan $\frac{7}{7 x + 3}$ dan $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{3 x + 5}}{\frac{7}{7 x + 3}}$

Langkah 4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to \infty} \frac{3}{3 x + 5} \cdot \frac{7 x + 3}{7}$

Langkah 5

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Kalikan $\frac{3}{3 x + 5}$ dengan $\frac{7 x + 3}{7}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{3 (7 x + 3)}{(3 x + 5) \cdot 7}$

Langkah 5.2

Pindahkan suku $\frac{3}{7}$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 x + 3}{3 x + 5}$

Langkah 6

Bagilah pembilang dan penyebutnya dengan pangkat tertinggi dari $x$ dalam penyebut, yaitu $x$ .

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Langkah 7

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{7 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Langkah 7.1.2

Bagilah $7$ dengan $1$ .

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Langkah 7.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{5}{x}}$

Langkah 7.2.2

Bagilah $3$ dengan $1$ .

$\frac{3}{7} lim_{x \to \infty} \frac{7 + \frac{3}{x}}{3 + \frac{5}{x}}$

Langkah 7.3

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Hasil Bagi Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 7 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Langkah 7.4

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 7 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Langkah 7.5

Evaluasi limit dari $7$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Langkah 7.6

Pindahkan suku $3$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Langkah 8

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{5}{x}}$

Langkah 9

Evaluasi limitnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Pisahkan limitnya menggunakan Kaidah Jumlah Limit pada limitnya ketika $x$ mendekati $\infty$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Langkah 9.2

Evaluasi limit dari $3$ yang tetap ketika (Variabel1) mendekati $\infty$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x}}$

Langkah 9.3

Pindahkan suku $5$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Langkah 10

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x}$ mendekati $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 3 \cdot 0}{3 + 5 \cdot 0}$

Langkah 11

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1.1

Kalikan $3$ dengan $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7 + 0}{3 + 5 \cdot 0}$

Langkah 11.1.2

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3 + 5 \cdot 0}$

Langkah 11.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.2.1

Kalikan $5$ dengan $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3 + 0}$

Langkah 11.2.2

Tambahkan $3$ dan $0$ .

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}$

Langkah 11.3

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.3.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3}$

Langkah 11.3.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{7} \cdot 7$

Langkah 11.4

Batalkan faktor persekutuan dari $7$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{7} \cdot 7$

Langkah 11.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1$