Kalkulus Contoh

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Langkah 1

Buat limitnya sebagai limit kiri.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Langkah 2

Evaluasi batas-batasnya dengan memasukkan nilai untuk variabel.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Evaluasi limit dari (Variabel0) dengan memasukkan $0$ ke dalam (Variabel2).

$\frac{\ln (0)}{\cot (0)}$

Langkah 2.2

Tulis kembali $\cot (0)$ dalam bentuk sinus dan kosinus.

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Langkah 2.3

Nilai eksak dari $\sin (0)$ adalah $0$ .

$\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$

Langkah 2.4

Karena $\frac{\ln (0)}{\frac{\cos (0)}{0}}$ tidak terdefinisi, limitnya tidak ada.

$Tidak ada$

Langkah 3

Buat limitnya sebagai limit kanan.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)}$

Langkah 4

Evaluasi limit kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Terapkan aturan L'Hospital.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Evaluasi limit dari pembilang dan limit dari penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1.1

Ambil limit dari pembilang dan limit dari penyebut.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (x)}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Langkah 4.1.1.2

Ketika $x$ mendekati $0$ dari kanan, $\ln (x)$ menurun tanpa batas.

$\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \cot (x)}$

Langkah 4.1.1.3

Ketika nilai $x$ mendekati $0$ dari kanan, nilai fungsinya meningkat tanpa batas.

$\frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 4.1.1.4

Tak hingga dibagi dengan tak hingga hasilnya tak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

$\frac{- \infty}{\infty}$

Langkah 4.1.2

Karena $\frac{- \infty}{\infty}$ adalah bentuk tak tentu, terapkan Kaidah L'Hospital. Kaidah L'Hospital menyatakan bahwa limit dari hasil bagi fungsi sama dengan limit dari hasil bagi turunannya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (x)}{\cot (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Langkah 4.1.3

Menentukan turunan dari pembilang dan penyebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.3.1

Diferensialkan pembilang dan penyebutnya.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Langkah 4.1.3.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Langkah 4.1.3.3

Turunan dari $\cot (x)$ terhadap $x$ adalah $- \csc^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{- \csc^{2} (x)}$

Langkah 4.1.4

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{- \csc^{2} (x)}$

Langkah 4.1.5

Kalikan $\frac{1}{x}$ dengan $\frac{1}{- \csc^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (- \csc^{2} (x))}$

Langkah 4.1.6

Hapus faktor persekutuan dari $1$ dan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.6.1

Tulis kembali $1$ sebagai $- 1 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{- 1 (- 1)}{x (- \csc^{2} (x))}$

Langkah 4.1.6.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$lim_{x \to 0^{+}} - \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Langkah 4.2

Pindahkan suku $- 1$ ke luar limit karena konstan terhadap $x$ .

$- lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$

Langkah 4.3

Karena pembilangnya mendekati bilangan riil sementara penyebutnya tidak terbatas, pecahan $\frac{1}{x (\csc^{2} (x))}$ mendekati $0$ .

$- 0$

Langkah 4.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$0$

Langkah 5

Jika limit satu arah tidak ada, limitnya tidak ada.

$Tidak ada$