Kalkulus Contoh

$y = 2 x^{2} + 1$ , $y = 2 x + 9$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} {(f (x))}^{2} - {(g (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = 2 x + 9$ dan $g (x) = 2 x^{2} + 1$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali ${(2 x + 9)}^{2}$ sebagai $(2 x + 9) (2 x + 9)$ .

$V = (2 x + 9) (2 x + 9) - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 2.1.2

Perluas $(2 x + 9) (2 x + 9)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = 2 x (2 x + 9) + 9 (2 x + 9) - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x + 9) - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = 2 x (2 x) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = 2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.2

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.2.1

Pindahkan $x$ .

$V = 2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.2.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$V = 2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = 4 x^{2} + 2 x \cdot 9 + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.4

Kalikan $9$ dengan $2$ .

$V = 4 x^{2} + 18 x + 9 (2 x) + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.5

Kalikan $2$ dengan $9$ .

$V = 4 x^{2} + 18 x + 18 x + 9 \cdot 9 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.6

Kalikan $9$ dengan $9$ .

$V = 4 x^{2} + 18 x + 18 x + 81 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 2.1.3.2

Tambahkan $18 x$ dan $18 x$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - {(2 x^{2} + 1)}^{2}$

Langkah 2.1.4

Tulis kembali ${(2 x^{2} + 1)}^{2}$ sebagai $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - ((2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1))$

Langkah 2.1.5

Perluas $(2 x^{2} + 1) (2 x^{2} + 1)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.5.1

Terapkan sifat distributif.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 x^{2} (2 x^{2} + 1) + 1 (2 x^{2} + 1))$

Langkah 2.1.5.2

Terapkan sifat distributif.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2} + 1))$

Langkah 2.1.5.3

Terapkan sifat distributif.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Langkah 2.1.6

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Langkah 2.1.6.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.6.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Langkah 2.1.6.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Langkah 2.1.6.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Langkah 2.1.6.1.3

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Langkah 2.1.6.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} + 1 (2 x^{2}) + 1 \cdot 1)$

Langkah 2.1.6.1.5

Kalikan $2 x^{2}$ dengan $1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1 \cdot 1)$

Langkah 2.1.6.1.6

Kalikan $1$ dengan $1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 2 x^{2} + 2 x^{2} + 1)$

Langkah 2.1.6.2

Tambahkan $2 x^{2}$ dan $2 x^{2}$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4} + 4 x^{2} + 1)$

Langkah 2.1.7

Terapkan sifat distributif.

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - (4 x^{4}) - (4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.1.8

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.8.1

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - (4 x^{2}) - 1 \cdot 1$

Langkah 2.1.8.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - 4 x^{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 2.1.8.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$V = 4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - 4 x^{2} - 1$

Langkah 2.2

Sederhanakan dengan menambahkan suku-suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Gabungkan suku balikan dalam $4 x^{2} + 36 x + 81 - 4 x^{4} - 4 x^{2} - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $4 x^{2}$ .

$V = 36 x + 81 - 4 x^{4} + 0 - 1$

Langkah 2.2.1.2

Tambahkan $36 x + 81 - 4 x^{4}$ dan $0$ .

$V = 36 x + 81 - 4 x^{4} - 1$

Langkah 2.2.2

Kurangi $1$ dengan $81$ .

$V = 36 x - 4 x^{4} + 80$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 36 x d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Langkah 4

Karena $36$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $36$ keluar dari integral.

$V = π (36 \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} x d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} - 4 x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Langkah 7

Karena $- 4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 4$ keluar dari integral.

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} x^{4} d x + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Langkah 9

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + \int_{- 1.56155281}^{2.56155281} 80 d x)$

Langkah 10

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (36 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) - 4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + 80 x]_{- 1.56155281}^{2.56155281})$

Langkah 11

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Evaluasi $\frac{x^{2}}{2}$ pada $2.56155281$ dan pada $- 1.56155281$ .

$V = π (36 ((\frac{{2.56155281}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{x^{5}}{5}]_{- 1.56155281}^{2.56155281}) + 80 x]_{- 1.56155281}^{2.56155281})$

Langkah 11.2

Evaluasi $\frac{x^{5}}{5}$ pada $2.56155281$ dan pada $- 1.56155281$ .

$V = π (36 (\frac{{2.56155281}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 x]_{- 1.56155281}^{2.56155281})$

Langkah 11.3

Evaluasi $80 x$ pada $2.56155281$ dan pada $- 1.56155281$ .

$V = π (36 (\frac{{2.56155281}^{2}}{2} - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Naikkan $2.56155281$ menjadi pangkat $2$ .

$V = π (36 (\frac{6.56155281}{2} - \frac{{(- 1.56155281)}^{2}}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.2

Naikkan $- 1.56155281$ menjadi pangkat $2$ .

$V = π (36 (\frac{6.56155281}{2} - \frac{2.43844718}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (36 (\frac{6.56155281 - 2.43844718}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.4

Kurangi $2.43844718$ dengan $6.56155281$ .

$V = π (36 (\frac{4.12310562}{2}) - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.5

Gabungkan $36$ dan $\frac{4.12310562}{2}$ .

$V = π (\frac{36 \cdot 4.12310562}{2} - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.6

Kalikan $36$ dengan $4.12310562$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{{2.56155281}^{5}}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.7

Naikkan $2.56155281$ menjadi pangkat $5$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} - \frac{{(- 1.56155281)}^{5}}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.8

Naikkan $- 1.56155281$ menjadi pangkat $5$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} - \frac{- 9.28503157}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.9

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} + \frac{9.28503157}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.10

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} + 1 (\frac{9.28503157}{5})) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.11

Kalikan $\frac{9.28503157}{5}$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{110.28503157}{5} + \frac{9.28503157}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 \frac{110.28503157 + 9.28503157}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.13

Tambahkan $110.28503157$ dan $9.28503157$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - 4 (\frac{119.57006314}{5}) + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.14

Gabungkan $- 4$ dan $\frac{119.57006314}{5}$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} + \frac{- 4 \cdot 119.57006314}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.15

Kalikan $- 4$ dengan $119.57006314$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} + \frac{- 478.28025257}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.16

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{148.43180252}{2} - \frac{478.28025257}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.17

Untuk menuliskan $\frac{148.43180252}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{478.28025257}{5} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.18

Untuk menuliskan $- \frac{478.28025257}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{148.43180252}{2} \cdot \frac{5}{5} - \frac{478.28025257}{5} \cdot \frac{2}{2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.19

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $10$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.19.1

Kalikan $\frac{148.43180252}{2}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{478.28025257}{5} \cdot \frac{2}{2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.19.2

Kalikan $2$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{10} - \frac{478.28025257}{5} \cdot \frac{2}{2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.19.3

Kalikan $\frac{478.28025257}{5}$ dengan $\frac{2}{2}$ .

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{10} - \frac{478.28025257 \cdot 2}{5 \cdot 2} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.19.4

Kalikan $5$ dengan $2$ .

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5}{10} - \frac{478.28025257 \cdot 2}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.20

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{148.43180252 \cdot 5 - 478.28025257 \cdot 2}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.21

Kalikan $148.43180252$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{742.15901261 - 478.28025257 \cdot 2}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.22

Kalikan $- 478.28025257$ dengan $2$ .

$V = π (\frac{742.15901261 - 956.56050514}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.23

Kurangi $956.56050514$ dengan $742.15901261$ .

$V = π (\frac{- 214.40149253}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.24

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 80 \cdot 2.56155281 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.25

Kalikan $80$ dengan $2.56155281$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 204.92422502 - 80 \cdot - 1.56155281)$

Langkah 11.4.26

Kalikan $- 80$ dengan $- 1.56155281$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 204.92422502 + 124.92422502)$

Langkah 11.4.27

Tambahkan $204.92422502$ dan $124.92422502$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 329.84845004)$

Langkah 11.4.28

Untuk menuliskan $329.84845004$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{10}{10}$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + 329.84845004 \cdot \frac{10}{10})$

Langkah 11.4.29

Gabungkan $329.84845004$ dan $\frac{10}{10}$ .

$V = π (- \frac{214.40149253}{10} + \frac{329.84845004 \cdot 10}{10})$

Langkah 11.4.30

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{- 214.40149253 + 329.84845004 \cdot 10}{10})$

Langkah 11.4.31

Kalikan $329.84845004$ dengan $10$ .

$V = π (\frac{- 214.40149253 + 3298.48450049}{10})$

Langkah 11.4.32

Tambahkan $- 214.40149253$ dan $3298.48450049$ .

$V = π (\frac{3084.08300796}{10})$

Langkah 11.4.33

Gabungkan $π$ dan $\frac{3084.08300796}{10}$ .

$V = \frac{π \cdot 3084.08300796}{10}$

Langkah 11.4.34

Kalikan $π$ dengan $3084.08300796$ .

$V = \frac{9688.93252087}{10}$

Langkah 12

Bagilah $9688.93252087$ dengan $10$ .

$V = 968.89325208$

Langkah 13