Kalkulus Contoh

$y = - x^{2} + 4$ , $y = 0$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 2}^{2} {(f (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = - x^{2} + 4$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${(- x^{2} + 4)}^{2}$ sebagai $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ .

$V = (- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$

Langkah 2.2

Perluas $(- x^{2} + 4) (- x^{2} + 4)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = - x^{2} (- x^{2} + 4) + 4 (- x^{2} + 4)$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2} + 4)$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = - x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.2.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 x^{4}) - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = 1 x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.4

Kalikan $x^{4}$ dengan $1$ .

$V = x^{4} - x^{2} \cdot 4 + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$V = x^{4} - 4 x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$V = x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 4 \cdot 4$

Langkah 2.3.1.7

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$V = x^{4} - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 16$

Langkah 2.3.2

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $- 4 x^{2}$ .

$V = x^{4} - 8 x^{2} + 16$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{- 2}^{2} x^{4} d x + \int_{- 2}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$V = π (\frac{1}{5} x^{5}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Langkah 5

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} - 8 x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Langkah 6

Karena $- 8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 8$ keluar dari integral.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 \int_{- 2}^{2} x^{2} d x + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Langkah 7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Langkah 8

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + \int_{- 2}^{2} 16 d x)$

Langkah 9

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}) + 16 x]_{- 2}^{2})$

Langkah 10

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Gabungkan $\frac{x^{5}}{5}]_{- 2}^{2}$ dan $16 x]_{- 2}^{2}$ .

$V = π (\frac{x^{5}}{5} + 16 x]_{- 2}^{2} - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Langkah 10.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Evaluasi $\frac{x^{5}}{5} + 16 x$ pada $2$ dan pada $- 2$ .

$V = π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 (\frac{x^{3}}{3}]_{- 2}^{2}))$

Langkah 10.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $2$ dan pada $- 2$ .

$V = π ((\frac{2^{5}}{5} + 16 \cdot 2) - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.1

Naikkan $2$ menjadi pangkat $5$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 16 \cdot 2 - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.2

Kalikan $16$ dengan $2$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 32 - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.3

Untuk menuliskan $32$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{32}{5} + 32 \cdot \frac{5}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.4

Gabungkan $32$ dan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{32}{5} + \frac{32 \cdot 5}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.5

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{32 + 32 \cdot 5}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.6

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.6.1

Kalikan $32$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{32 + 160}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.6.2

Tambahkan $32$ dan $160$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (\frac{{(- 2)}^{5}}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.7

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $5$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (\frac{- 32}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} + 16 \cdot - 2) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.9

Kalikan $16$ dengan $- 2$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} - 32) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.10

Untuk menuliskan $- 32$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} - 32 \cdot \frac{5}{5}) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.11

Gabungkan $- 32$ dan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{192}{5} - (- \frac{32}{5} + \frac{- 32 \cdot 5}{5}) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.12

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{192}{5} - \frac{- 32 - 32 \cdot 5}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.13

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.13.1

Kalikan $- 32$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{192}{5} - \frac{- 32 - 160}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.13.2

Kurangi $160$ dengan $- 32$ .

$V = π (\frac{192}{5} - \frac{- 192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.14

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{192}{5} + \frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.15

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (\frac{192}{5} + 1 (\frac{192}{5}) - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.16

Kalikan $\frac{192}{5}$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{192}{5} + \frac{192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.17

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{192 + 192}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.18

Tambahkan $192$ dan $192$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.19

Naikkan $2$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{{(- 2)}^{3}}{3}))$

Langkah 10.2.3.20

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} - \frac{- 8}{3}))$

Langkah 10.2.3.21

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Langkah 10.2.3.22

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} + 1 (\frac{8}{3})))$

Langkah 10.2.3.23

Kalikan $\frac{8}{3}$ dengan $1$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}))$

Langkah 10.2.3.24

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{384}{5} - 8 \frac{8 + 8}{3})$

Langkah 10.2.3.25

Tambahkan $8$ dan $8$ .

$V = π (\frac{384}{5} - 8 (\frac{16}{3}))$

Langkah 10.2.3.26

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{16}{3}$ .

$V = π (\frac{384}{5} + \frac{- 8 \cdot 16}{3})$

Langkah 10.2.3.27

Kalikan $- 8$ dengan $16$ .

$V = π (\frac{384}{5} + \frac{- 128}{3})$

Langkah 10.2.3.28

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$V = π (\frac{384}{5} - \frac{128}{3})$

Langkah 10.2.3.29

Untuk menuliskan $\frac{384}{5}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{384}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3})$

Langkah 10.2.3.30

Untuk menuliskan $- \frac{128}{3}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{384}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Langkah 10.2.3.31

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $15$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.31.1

Kalikan $\frac{384}{5}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Langkah 10.2.3.31.2

Kalikan $5$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{15} - \frac{128}{3} \cdot \frac{5}{5})$

Langkah 10.2.3.31.3

Kalikan $\frac{128}{3}$ dengan $\frac{5}{5}$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{15} - \frac{128 \cdot 5}{3 \cdot 5})$

Langkah 10.2.3.31.4

Kalikan $3$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{384 \cdot 3}{15} - \frac{128 \cdot 5}{15})$

Langkah 10.2.3.32

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{384 \cdot 3 - 128 \cdot 5}{15})$

Langkah 10.2.3.33

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.3.33.1

Kalikan $384$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{1152 - 128 \cdot 5}{15})$

Langkah 10.2.3.33.2

Kalikan $- 128$ dengan $5$ .

$V = π (\frac{1152 - 640}{15})$

Langkah 10.2.3.33.3

Kurangi $640$ dengan $1152$ .

$V = π (\frac{512}{15})$

Langkah 10.2.3.34

Gabungkan $π$ dan $\frac{512}{15}$ .

$V = \frac{π \cdot 512}{15}$

Langkah 10.2.3.35

Pindahkan $512$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{512 π}{15}$

Langkah 11

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{512 π}{15}$

Bentuk Desimal:

$V = 107.23302924 \dots$

Langkah 12