Kalkulus Contoh

$y = \sqrt{36 - x^{2}}$ , $y = 0$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (x)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{- 6}^{6} {(f (x))}^{2} d x$ di mana $f (x) = \sqrt{(6 + x) (6 - x)}$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tulis kembali ${\sqrt{(6 + x) (6 - x)}}^{2}$ sebagai $(6 + x) (6 - x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt{(6 + x) (6 - x)}$ sebagai ${((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$V = {({((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Langkah 2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Langkah 2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $2$ .

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$V = {((6 + x) (6 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Langkah 2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$V = (6 + x) (6 - x)$

Langkah 2.1.5

Sederhanakan.

$V = (6 + x) (6 - x)$

Langkah 2.2

Perluas $(6 + x) (6 - x)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = 6 (6 - x) + x (6 - x)$

Langkah 2.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x (6 - x)$

Langkah 2.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = 6 \cdot 6 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x)$

Langkah 2.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.1

Kalikan $6$ dengan $6$ .

$V = 36 + 6 (- x) + x \cdot 6 + x (- x)$

Langkah 2.3.1.2

Kalikan $- 1$ dengan $6$ .

$V = 36 - 6 x + x \cdot 6 + x (- x)$

Langkah 2.3.1.3

Pindahkan $6$ ke sebelah kiri $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 \cdot x + x (- x)$

Langkah 2.3.1.4

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = 36 - 6 x + 6 x - x \cdot x$

Langkah 2.3.1.5

Kalikan $x$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1.5.1

Pindahkan $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 x - (x \cdot x)$

Langkah 2.3.1.5.2

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$V = 36 - 6 x + 6 x - x^{2}$

Langkah 2.3.2

Tambahkan $- 6 x$ dan $6 x$ .

$V = 36 + 0 - x^{2}$

Langkah 2.3.3

Tambahkan $36$ dan $0$ .

$V = 36 - x^{2}$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{- 6}^{6} 36 d x + \int_{- 6}^{6} - x^{2} d x)$

Langkah 4

Terapkan aturan konstanta.

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} + \int_{- 6}^{6} - x^{2} d x)$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - \int_{- 6}^{6} x^{2} d x)$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 6}^{6}))$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$V = π (36 x]_{- 6}^{6} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{6}))$

Langkah 7.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Evaluasi $36 x$ pada $6$ dan pada $- 6$ .

$V = π ((36 \cdot 6) - 36 \cdot - 6 - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 6}^{6}))$

Langkah 7.2.2

Evaluasi $\frac{x^{3}}{3}$ pada $6$ dan pada $- 6$ .

$V = π (36 \cdot 6 - 36 \cdot - 6 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Kalikan $36$ dengan $6$ .

$V = π (216 - 36 \cdot - 6 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $- 36$ dengan $- 6$ .

$V = π (216 + 216 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.3

Tambahkan $216$ dan $216$ .

$V = π (432 - (\frac{6^{3}}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.4

Naikkan $6$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (432 - (\frac{216}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $216$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.5.1

Faktorkan $3$ dari $216$ .

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.5.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3 (1)} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (432 - (\frac{3 \cdot 72}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (432 - (\frac{72}{1} - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.5.2.4

Bagilah $72$ dengan $1$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{{(- 6)}^{3}}{3}))$

Langkah 7.2.3.6

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{- 216}{3}))$

Langkah 7.2.3.7

Hapus faktor persekutuan dari $- 216$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.7.1

Faktorkan $3$ dari $- 216$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3}))$

Langkah 7.2.3.7.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.7.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3 (1)}))$

Langkah 7.2.3.7.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (432 - (72 - \frac{3 \cdot - 72}{3 \cdot 1}))$

Langkah 7.2.3.7.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (432 - (72 - \frac{- 72}{1}))$

Langkah 7.2.3.7.2.4

Bagilah $- 72$ dengan $1$ .

$V = π (432 - (72 + 72))$

Langkah 7.2.3.8

Kalikan $- 1$ dengan $- 72$ .

$V = π (432 - (72 + 72))$

Langkah 7.2.3.9

Tambahkan $72$ dan $72$ .

$V = π (432 - 1 \cdot 144)$

Langkah 7.2.3.10

Kalikan $- 1$ dengan $144$ .

$V = π (432 - 144)$

Langkah 7.2.3.11

Kurangi $144$ dengan $432$ .

$V = π \cdot 288$

Langkah 7.2.3.12

Pindahkan $288$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = 288 π$

Langkah 8

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = 288 π$

Bentuk Desimal:

$V = 904.77868423 \dots$

Langkah 9