Kalkulus Contoh

$f (x) = x - x^{- 1}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x^{- 1}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x^{- 1}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2}$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2}$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $x^{- 2}$ dengan $1$ .

$1 + x^{- 2}$

Langkah 1.1.3

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = x^{- 2} + 1$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{- 2} + 1$ .

$x^{- 2} + 1$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{- 2} + 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{- 2} + 1 = 0$

Langkah 2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Langkah 2.3

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\frac{1}{x^{2}} = - 1$

Langkah 2.4

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{2}, 1$

Langkah 2.4.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{2}$

Langkah 2.5

Kalikan setiap suku pada $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ dengan $x^{2}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Kalikan setiap suku dalam $\frac{1}{x^{2}} = - 1$ dengan $x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Langkah 2.5.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Langkah 2.5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 = - x^{2}$

Langkah 2.6

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $- x^{2} = 1$ .

$- x^{2} = 1$

Langkah 2.6.2

Bagi setiap suku pada $- x^{2} = 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.1

Bagilah setiap suku di $- x^{2} = 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 2.6.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 2.6.2.2.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Langkah 2.6.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.2.3.1

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Langkah 2.6.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Langkah 2.6.4

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i$

Langkah 2.6.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = i$

Langkah 2.6.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - i$

Langkah 2.6.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = i, - i$

Langkah 3

Tidak ada nilai dari $x$ di domain soal awal yang nilai-turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Tidak ditemukan titik kritis

Langkah 4

Atur bilangan pokok dalam $x^{- 2}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x = 0$

Langkah 5

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = x^{- 2} + 1$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = x - x^{- 1}$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$ .

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{- 2} + 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{{(- 1)}^{2}} + 1$

Langkah 6.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{1} + 1$

Langkah 6.2.1.3

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = 1 + 1$

Langkah 6.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (- 1) = 2$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $2$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, 0)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = {(1)}^{- 2} + 1$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 1 + 1$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f' (1) = 2$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $2$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, 0), (0, \infty)$

Langkah 9