Kalkulus Contoh

$f (x) = - \cos (x)$ ; $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} - \cos (x) d x)$

Langkah 5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (x) d x)$

Langkah 6

Integral dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $\sin (x)$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (x)]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}))$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Evaluasi $\sin (x)$ pada $\frac{π}{2}$ dan pada $- \frac{π}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (\sin (\frac{π}{2}) - \sin (- \frac{π}{2})))$

Langkah 7.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (- \frac{π}{2})))$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Tambahkan rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - \sin (\frac{3 π}{2})))$

Langkah 7.3.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran keempat.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + \sin (\frac{π}{2})))$

Langkah 7.3.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{2})$ adalah $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 - (- 1 \cdot 1)))$

Langkah 7.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Langkah 7.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- (1 + 1))$

Langkah 7.3.6

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 1 \cdot 2)$

Langkah 7.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}} (- 2)$

Langkah 8

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π + π}{2}} \cdot - 2$

Langkah 8.2

Tulis kembali $\frac{π + π}{2}$ dalam bentuk faktor.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Langkah 8.2.2

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Kurangi pernyataan $\frac{2 π}{2}$ dengan membatalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{\frac{2 π}{2}} \cdot - 2$

Langkah 8.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{\frac{π}{1}} \cdot - 2$

Langkah 8.2.2.2

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{π} \cdot - 2$

Langkah 9

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{π}$ dan $- 2$ .

$A (x) = \frac{- 2}{π}$

Langkah 9.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (x) = - \frac{2}{π}$

Langkah 10