Kalkulus Contoh

$e^{- x} \sin (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = e^{- x}$ dan $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = e^{- x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $\cos (x)$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{- x})$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ adalah $a^{u} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 1.1.3.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $- x$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x))$

Langkah 1.1.4

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x))$

Langkah 1.1.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} (- 1 \cdot 1))$

Langkah 1.1.4.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (e^{- x} \cdot - 1)$

Langkah 1.1.4.3.2

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- 1 \cdot e^{- x})$

Langkah 1.1.4.3.3

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) + \sin (x) (- e^{- x})$

Langkah 1.1.4.3.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} \cos (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) - e^{- x} \sin (x) = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $e^{- x}$ dari $- e^{- x} \sin (x)$ .

$e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x)) = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $e^{- x}$ dari $e^{- x} \cos (x) + e^{- x} (- 1 \sin (x))$ .

$e^{- x} (\cos (x) - 1 \sin (x)) = 0$

Langkah 2.2.2

Tulis kembali $- 1 \sin (x)$ sebagai $- \sin (x)$ .

$e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Langkah 2.4

Atur $e^{- x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $e^{- x}$ sama dengan $0$ .

$e^{- x} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $e^{- x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Langkah 2.4.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.4.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{- x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.5

Atur $\cos (x) - \sin (x)$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $\cos (x) - \sin (x)$ sama dengan $0$ .

$\cos (x) - \sin (x) = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $\cos (x) - \sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Bagilah setiap suku dalam persamaan tersebut dengan $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $\cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 2.5.2.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 2.5.2.3

Pisahkan pecahan.

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 2.5.2.4

Konversikan dari $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ ke $\tan (x)$ .

$1 + \frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 2.5.2.5

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Langkah 2.5.2.6

Pisahkan pecahan.

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Langkah 2.5.2.7

Konversikan dari $\frac{1}{\cos (x)}$ ke $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Langkah 2.5.2.8

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$1 - \tan (x) = 0 \sec (x)$

Langkah 2.5.2.9

Kalikan $0$ dengan $\sec (x)$ .

$1 - \tan (x) = 0$

Langkah 2.5.2.10

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- \tan (x) = - 1$

Langkah 2.5.2.11

Bagi setiap suku pada $- \tan (x) = - 1$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.11.1

Bagilah setiap suku di $- \tan (x) = - 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.5.2.11.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.11.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.5.2.11.2.2

Bagilah $\tan (x)$ dengan $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Langkah 2.5.2.11.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.11.3.1

Bagilah $- 1$ dengan $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Langkah 2.5.2.12

Ambil tangen balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam tangen.

$x = \arctan (1)$

Langkah 2.5.2.13

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.13.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Langkah 2.5.2.14

Fungsi tangen positif di kuadran pertama dan ketiga. Untuk mencari penyelesaian kedua, tambahkan sudut acuan dari $π$ untuk mencari penyelesaiannya di kuadran keempat.

$x = π + \frac{π}{4}$

Langkah 2.5.2.15

Sederhanakan $π + \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.15.1

Untuk menuliskan $π$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 2.5.2.15.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.15.2.1

Gabungkan $π$ dan $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Langkah 2.5.2.15.2.2

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Langkah 2.5.2.15.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.15.3.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Langkah 2.5.2.15.3.2

Tambahkan $4 π$ dan $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Langkah 2.5.2.16

Tentukan periode dari $\tan (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.16.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Langkah 2.5.2.16.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Langkah 2.5.2.16.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{π}{1}$

Langkah 2.5.2.16.4

Bagilah $π$ dengan $1$ .

$π$

Langkah 2.5.2.17

Periode dari fungsi $\tan (x)$ adalah $π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $π$ radian di kedua arah.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.6

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $e^{- x} (\cos (x) - \sin (x)) = 0$ benar.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.7

Gabungkan jawabannya.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $e^{- x} \sin (x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{π}{4}$ untuk $x$ .

$e^{- (\frac{π}{4})} \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.2

Gabungkan $e^{- \frac{π}{4}}$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.1.2.3

Pindahkan $e^{- \frac{π}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = \frac{5 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $\frac{5 π}{4}$ untuk $x$ .

$e^{- (\frac{5 π}{4})} \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 4.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.2.1

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Langkah 4.2.2.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 4.2.2.3

Gabungkan $e^{- \frac{5 π}{4}}$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.2.2.4

Pindahkan $e^{- \frac{5 π}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}$

Langkah 4.3

Evaluasi pada $x = \frac{9 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Substitusikan $\frac{9 π}{4}$ untuk $x$ .

$e^{- (\frac{9 π}{4})} \sin (\frac{9 π}{4})$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$e^{- \frac{9 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 4.3.2.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{9 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.3.2.3

Gabungkan $e^{- \frac{9 π}{4}}$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{9 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.3.2.4

Pindahkan $e^{- \frac{9 π}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}$

Langkah 4.4

Evaluasi pada $x = \frac{13 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.1

Substitusikan $\frac{13 π}{4}$ untuk $x$ .

$e^{- (\frac{13 π}{4})} \sin (\frac{13 π}{4})$

Langkah 4.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.4.2.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$e^{- \frac{13 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

Langkah 4.4.2.2

Terapkan sudut acuan dengan mencari sudut dengan nilai-nilai-trigonometri yang setara di kuadran pertama. Buat pernyataannya negatif karena sinus negatif di kuadran ketiga.

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Langkah 4.4.2.3

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{13 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Langkah 4.4.2.4

Gabungkan $e^{- \frac{13 π}{4}}$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{13 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.4.2.5

Pindahkan $e^{- \frac{13 π}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}$

Langkah 4.5

Evaluasi pada $x = \frac{17 π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Substitusikan $\frac{17 π}{4}$ untuk $x$ .

$e^{- (\frac{17 π}{4})} \sin (\frac{17 π}{4})$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Kurangi rotasi penuh dari $2 π$ sampai sudutnya lebih besar dari atau sama dengan $0$ dan lebih kecil dari $2 π$ .

$e^{- \frac{17 π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Langkah 4.5.2.2

Nilai eksak dari $\sin (\frac{π}{4})$ adalah $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{17 π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.5.2.3

Gabungkan $e^{- \frac{17 π}{4}}$ dan $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{e^{- \frac{17 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Langkah 4.5.2.4

Pindahkan $e^{- \frac{17 π}{4}}$ menjadi penyebut menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}}$

Langkah 4.6

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{π}{4}}}), (\frac{5 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{5 π}{4}}}), (\frac{9 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{9 π}{4}}}), (\frac{13 π}{4}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{13 π}{4}}}), (\frac{17 π}{4}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{17 π}{4}}})$

Langkah 5