Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$x^{2} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Gabungkan $x^{2}$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $x^{2}$ dan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Faktorkan $x$ dari $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{x \cdot x}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2.2.2

Faktorkan $x$ dari $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2.2.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2.2.4

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.2.2.5

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$x + \ln (x) (2 x)$

Langkah 1.1.3.4

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 x \ln (x) + x$ .

$2 x \ln (x) + x$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 x \ln (x) + x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 x \ln (x) + x = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $x$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$2 x \ln (x) = - x$

Langkah 2.3

Bagi setiap suku pada $2 x \ln (x) = - x$ dengan $2 x$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Bagilah setiap suku di $2 x \ln (x) = - x$ dengan $2 x$ .

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{2 x \ln (x)}{2 x} = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 2.3.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x \ln (x)}{x} = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 2.3.2.2.2

Bagilah $\ln (x)$ dengan $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 2.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (x) = \frac{- x}{2 x}$

Langkah 2.3.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (x) = \frac{- 1}{2}$

Langkah 2.3.3.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$\ln (x) = - \frac{1}{2}$

Langkah 2.4

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 2.5

Tulis kembali $\ln (x) = - \frac{1}{2}$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{2}} = x$

Langkah 2.6

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- \frac{1}{2}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{2}}$

Langkah 2.6.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 3.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 4

Evaluasi $x^{2} \ln (x)$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ untuk $x$ .

${(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.1.2.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\frac{1}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1

Kalikan eksponen dalam ${(e^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.1.2.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{1}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.1.2.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{1}{e^{1}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.1.2.2.2

Sederhanakan.

$\frac{1}{e} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}})$

Langkah 4.1.2.3

Pindahkan $e^{\frac{1}{2}}$ ke pembilang menggunakan aturan eksponen negatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{e} \ln (e^{- \frac{1}{2}})$

Langkah 4.1.2.4

Perluas $\ln (e^{- \frac{1}{2}})$ dengan memindahkan $- \frac{1}{2}$ ke luar logaritma.

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \ln (e))$

Langkah 4.1.2.5

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2} \cdot 1)$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\frac{1}{e} (- \frac{1}{2})$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan $\frac{1}{e}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{e \cdot 2}$

Langkah 4.1.2.8

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e$ .

$- \frac{1}{2 e}$

Langkah 4.2

Evaluasi pada $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.2.1

Substitusikan $0$ untuk $x$ .

${(0)}^{2} \ln (0)$

Langkah 4.2.2

Log alami dari nol tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 4.3

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}, - \frac{1}{2 e})$

Langkah 5