Kalkulus Contoh

$f'' (x) = 24 x^{3} - 18 x^{2} + 8 x$

Langkah 1

Fungsi $f' (x)$ dapat ditemukan dengan mengevaluasi integral tak tentu dari turunan $f'' (x)$ .

$f' (x) = \int f'' (x) d x$

Langkah 2

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 24 x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Langkah 3

Karena $24$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $24$ keluar dari integral.

$24 \int x^{3} d x + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Langkah 4

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 18 x^{2} d x + \int 8 x d x$

Langkah 5

Karena $- 18$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 18$ keluar dari integral.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 \int x^{2} d x + \int 8 x d x$

Langkah 6

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 8 x d x$

Langkah 7

Karena $8$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $8$ keluar dari integral.

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 \int x d x$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$24 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 18 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Langkah 9

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Sederhanakan.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Langkah 9.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $x^{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 8 \frac{x^{2}}{2} + C$

Langkah 9.2.2

Gabungkan $8$ dan $\frac{x^{2}}{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{8 x^{2}}{2} + C$

Langkah 9.2.3

Hapus faktor persekutuan dari $8$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Faktorkan $2$ dari $8 x^{2}$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2} + C$

Langkah 9.2.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 (1)} + C$

Langkah 9.2.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{2 (4 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Langkah 9.2.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$6 x^{4} - 6 x^{3} + \frac{4 x^{2}}{1} + C$

Langkah 9.2.3.2.4

Bagilah $4 x^{2}$ dengan $1$ .

$6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Langkah 10

Fungsi $f'$ jika berasal dari integral turunan dari fungsi. Ini valid oleh teorema dasar kalkulus.

$f' (x) = 6 x^{4} - 6 x^{3} + 4 x^{2} + C$

Langkah 11

Fungsi $f (x)$ dapat ditemukan dengan mengevaluasi integral tak tentu dari turunan $f' (x)$ .

$f (x) = \int f' (x) d x$

Langkah 12

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int 6 x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Langkah 13

Karena $6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $6$ keluar dari integral.

$6 \int x^{4} d x + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Langkah 14

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int - 6 x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Langkah 15

Karena $- 6$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 6$ keluar dari integral.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 \int x^{3} d x + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Langkah 16

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int 4 x^{2} d x + \int C d x$

Langkah 17

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $4$ keluar dari integral.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 \int x^{2} d x + \int C d x$

Langkah 18

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{2}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int C d x$

Langkah 19

Terapkan aturan konstanta.

$6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Langkah 20

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 20.1.1

Gabungkan $\frac{1}{5}$ dan $x^{5}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Langkah 20.1.2

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + C x + C$

Langkah 20.1.3

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $x^{3}$ .

$6 (\frac{x^{5}}{5} + C) - 6 (\frac{x^{4}}{4} + C) + 4 (\frac{x^{3}}{3} + C) + C x + C$

Langkah 20.2

Sederhanakan.

$\frac{6 x^{5}}{5} - \frac{3 x^{4}}{2} + \frac{4 x^{3}}{3} + C x + C$

Langkah 21

Susun kembali suku-suku.

$\frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$

Langkah 22

Fungsi $f$ jika berasal dari integral turunan dari fungsi. Ini valid oleh teorema dasar kalkulus.

$f (x) = \frac{6}{5} x^{5} - \frac{3}{2} x^{4} + \frac{4}{3} x^{3} + C x + C$