Kalkulus Contoh

$y = \sin (x)$ , $0 \leq x \leq \frac{π}{3}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\sin (x) = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $\sin (x) = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 1.2.3

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 1.2.4

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 1.2.5

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 1.2.5.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 1.2.5.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 1.2.5.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 1.2.6

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.2.7

Gabungkan jawabannya.

$x = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 1.3

Substitusikan $π n$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$y = 0, x = π n$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{3}} 0 d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $0$ dan $\frac{π}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) - (0) d x$

Langkah 3.2

Kurangi $0$ dengan $\sin (x)$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) d x$

Langkah 3.3

Integral dari $\sin (x)$ terhadap $x$ adalah $- \cos (x)$ .

$- \cos (x)]_{0}^{\frac{π}{3}}$

Langkah 3.4

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Evaluasi $- \cos (x)$ pada $\frac{π}{3}$ dan pada $0$ .

$- \cos (\frac{π}{3}) + \cos (0)$

Langkah 3.4.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Nilai eksak dari $\cos (\frac{π}{3})$ adalah $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} + \cos (0)$

Langkah 3.4.2.2

Nilai eksak dari $\cos (0)$ adalah $1$ .

$- \frac{1}{2} + 1$

Langkah 3.4.2.3

Tuliskan $1$ sebagai pecahan dengan penyebut persekutuan.

$- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Langkah 3.4.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\frac{- 1 + 2}{2}$

Langkah 3.4.2.5

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 4