Kalkulus Contoh

$f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ ; $[- 2, 2]$

Langkah 1

Untuk menentukan rerata nilai fungsi, fungsinya harus kontinu pada interval tertutup $[a, b]$ . Untuk menentukan apakah $f (x)$ kontinu di $[- 2, 2]$ atau tidak, tentukan domain dari $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x^{2} + 4}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} + 4 = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $4$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x^{2} = - 4$

Langkah 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Langkah 1.2.3

Sederhanakan $\pm \sqrt{- 4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Tulis kembali $- 4$ sebagai $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (4)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Langkah 1.2.3.3

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Langkah 1.2.3.4

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Langkah 1.2.3.5

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm i \cdot 2$

Langkah 1.2.3.6

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \pm 2 i$

Langkah 1.2.4

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 2 i$

Langkah 1.2.4.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 2 i$

Langkah 1.2.4.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 2 i, - 2 i$

Langkah 1.3

Domain adalah semua bilangan riil.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x \in ℝ}$

Langkah 2

$f (x)$ kontinu di $[- 2, 2]$ .

$f (x)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{x^{2} + 4} d x)$

Langkah 5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Susun kembali $x^{2}$ dan $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{4 + x^{2}} d x)$

Langkah 5.2

Tulis kembali $4$ sebagai $2^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\int_{- 2}^{2} \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x)$

Langkah 6

Integral dari $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{1}{2} \cdot \arctan (\frac{x}{2})]_{- 2}^{2})$

Langkah 7

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Gabungkan $\frac{1}{2}$ dan $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}]_{- 2}^{2})$

Langkah 7.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Evaluasi $\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2}$ pada $2$ dan pada $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} ((\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2}) - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (\frac{2}{2})}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Langkah 7.2.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 2}{2})}{2})$

Langkah 7.2.2.2

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $- 2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2})}{2})$

Langkah 7.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)})}{2})$

Langkah 7.2.2.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1})}{2})$

Langkah 7.2.2.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (\frac{- 1}{1})}{2})$

Langkah 7.2.2.2.2.4

Bagilah $- 1$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1)}{2} - \frac{\arctan (- 1)}{2})$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\arctan (1) - \arctan (- 1)}{2})$

Langkah 7.3.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.1

Nilai eksak dari $\arctan (1)$ adalah $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} - \arctan (- 1)}{2})$

Langkah 7.3.2.2

Nilai eksak dari $\arctan (- 1)$ adalah $- \frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Langkah 7.3.2.3

Kalikan $- - \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + 1 (\frac{π}{4})}{2})$

Langkah 7.3.2.3.2

Kalikan $\frac{π}{4}$ dengan $1$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{4} + \frac{π}{4}}{2})$

Langkah 7.3.3

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π + π}{4}}{2})$

Langkah 7.3.4

Tambahkan $π$ dan $π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{4}}{2})$

Langkah 7.3.5

Hapus faktor persekutuan dari $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.5.1

Faktorkan $2$ dari $2 π$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 (π)}{4}}{2})$

Langkah 7.3.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.5.2.1

Faktorkan $2$ dari $4$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Langkah 7.3.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{2 π}{2 \cdot 2}}{2})$

Langkah 7.3.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

Langkah 7.3.6

Kalikan pembilang dengan balikan dari penyebut.

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Langkah 7.3.7

Kalikan $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.3.7.1

Kalikan $\frac{π}{2}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{2 \cdot 2})$

Langkah 7.3.7.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{2 + 2} (\frac{π}{4})$

Langkah 8

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$A (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$

Langkah 9

Kalikan $\frac{1}{4} \cdot \frac{π}{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Kalikan $\frac{1}{4}$ dengan $\frac{π}{4}$ .

$A (x) = \frac{π}{4 \cdot 4}$

Langkah 9.2

Kalikan $4$ dengan $4$ .

$A (x) = \frac{π}{16}$

Langkah 10