Kalkulus Contoh

$f (t) = t e^{- t^{2}}$ , $[0, 7]$

Langkah 1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Notasi Interval:

$(- \infty, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${t | t \in ℝ}$

Langkah 2

$f (t)$ kontinu di $[0, 7]$ .

$f (t)$ kontinu

Langkah 3

Nilai rerata dari fungsi $f$ di sepanjang interval $[a, b]$ didefinisikan sebagai $A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (t) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Langkah 4

Substitusikan nilai-nilai aktual ke dalam rumus untuk menghitung nilai rerata dari suatu fungsi.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{7} t e^{- t^{2}} d t)$

Langkah 5

Biarkan $u = - t^{2}$ . Kemudian $d u = - 2 t d t$ sehingga $- \frac{1}{2} d u = t d t$ . Tulis kembali menggunakan $u$ dan $d$ $u$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Biarkan $u = - t^{2}$ . Tentukan $\frac{d u}{d t}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

Diferensialkan $- t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [- t^{2}]$

Langkah 5.1.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $t$ , turunan dari $- t^{2}$ terhadap $t$ adalah $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$- \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Langkah 5.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ adalah $n t^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$- (2 t)$

Langkah 5.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$- 2 t$

Langkah 5.2

Substitusikan batas bawah untuk $t$ di $u = - t^{2}$ .

$u_{lower} = - 0^{2}$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$u_{lower} = - 0$

Langkah 5.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$u_{lower} = 0$

Langkah 5.4

Substitusikan batas atas untuk $t$ di $u = - t^{2}$ .

$u_{upper} = - 7^{2}$

Langkah 5.5

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.5.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $2$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 49$

Langkah 5.5.2

Kalikan $- 1$ dengan $49$ .

$u_{upper} = - 49$

Langkah 5.6

Nilai-nilai yang ditemukan untuk $u_{lower}$ dan $u_{upper}$ akan digunakan untuk mengevaluasi integral tentunya.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 49$

Langkah 5.7

Tulis kembali soalnya menggunakan $u$ , $d u$ , dan batas integral yang baru.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (\frac{1}{- 2}) d u)$

Langkah 6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Langkah 6.2

Gabungkan $e^{u}$ dan $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (\int_{0}^{- 49} - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 7

Karena $- 1$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \int_{0}^{- 49} \frac{e^{u}}{2} d u)$

Langkah 8

Karena $\frac{1}{2}$ konstan terhadap $u$ , pindahkan $\frac{1}{2}$ keluar dari integral.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- (\frac{1}{2} \cdot \int_{0}^{- 49} e^{u} d u))$

Langkah 9

Integral dari $e^{u}$ terhadap $u$ adalah $e^{u}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot e^{u}]_{0}^{- 49})$

Langkah 10

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Evaluasi $e^{u}$ pada $- 49$ dan pada $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot ((e^{- 49}) - e^{0}))$

Langkah 10.2

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1 \cdot 1))$

Langkah 10.2.2

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (e^{- 49} - 1))$

Langkah 11

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{e^{49}} - 1))$

Langkah 11.2

Terapkan sifat distributif.

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{49}} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Langkah 11.3

Kalikan $\frac{1}{e^{49}}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot - 1)$

Langkah 11.4

Kalikan $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 11.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + 1 (\frac{1}{2}))$

Langkah 11.4.2

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $1$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{e^{49} \cdot 2} + \frac{1}{2})$

Langkah 11.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{49}$ .

$A (t) = \frac{1}{7 - 0} (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Langkah 12

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7 + 0} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Langkah 12.2

Tambahkan $7$ dan $0$ .

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}} + \frac{1}{2})$

Langkah 13

Terapkan sifat distributif.

$A (t) = \frac{1}{7} \cdot (- \frac{1}{2 e^{49}}) + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 14

Kalikan $\frac{1}{7} (- \frac{1}{2 e^{49}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 14.1

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $\frac{1}{2 e^{49}}$ .

$A (t) = - \frac{1}{7 (2 e^{49})} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 14.2

Kalikan $2$ dengan $7$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$

Langkah 15

Kalikan $\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 15.1

Kalikan $\frac{1}{7}$ dengan $\frac{1}{2}$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{7 \cdot 2}$

Langkah 15.2

Kalikan $7$ dengan $2$ .

$A (t) = - \frac{1}{14 e^{49}} + \frac{1}{14}$

Langkah 16