Kalkulus Contoh

$y = \sqrt[3]{x}$ , $y = \frac{1}{x}$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$

Langkah 1.2

Selesaikan $\sqrt[3]{x} = \frac{1}{x}$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Untuk menghilangkan akar pada sisi kiri persamaan, pangkatkan tiga kedua sisi persamaan.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Langkah 1.2.2

Sederhanakan setiap sisi persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Langkah 1.2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1

Sederhanakan ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1

Kalikan eksponen dalam ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Langkah 1.2.2.2.1.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.2.1.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Langkah 1.2.2.2.1.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{1} = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Langkah 1.2.2.2.1.2

Sederhanakan.

$x = {(\frac{1}{x})}^{3}$

Langkah 1.2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1

Sederhanakan ${(\frac{1}{x})}^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.3.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $\frac{1}{x}$ .

$x = \frac{1^{3}}{x^{3}}$

Langkah 1.2.2.3.1.2

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$x = \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 1.2.3

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$1, x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Langkah 1.2.3.1.2

KPK dari satu dan pernyataan apa pun adalah pernyataan itu sendiri.

$x^{3} + y = \frac{1}{x}$

Langkah 1.2.3.2

Kalikan setiap suku pada $x = \frac{1}{x^{3}}$ dengan $x^{3}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.1

Kalikan setiap suku dalam $x = \frac{1}{x^{3}}$ dengan $x^{3}$ .

$x \cdot x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Langkah 1.2.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1.1

Kalikan $x$ dengan $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.2.1.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{1} x^{3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Langkah 1.2.3.2.2.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{1 + 3} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Langkah 1.2.3.2.2.1.2

Tambahkan $1$ dan $3$ .

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Langkah 1.2.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.3.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.2.3.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$x^{4} = \frac{1}{x^{3}} x^{3}$

Langkah 1.2.3.2.3.1.2

Tulis kembali pernyataannya.

$x^{4} = 1$

Langkah 1.2.3.3

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.1

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt[4]{1}$

Langkah 1.2.3.3.2

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 1.2.3.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.3.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 1.2.3.3.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 1.2.3.3.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 1.3

Evaluasi $y$ ketika $x = 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.1

Substitusikan $1$ untuk $x$ .

$y = \frac{1}{1}$

Langkah 1.3.2

Substitusikan $1$ ke $x$ dalam $y = \frac{1}{1}$ dan selesaikan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.3.2.1

Hilangkan tanda kurung.

$y = \frac{1}{1}$

Langkah 1.3.2.2

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$y = 1$

Langkah 1.4

Evaluasi $y$ ketika $x = - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.4.1

Substitusikan $- 1$ untuk $x$ .

$y = \frac{1}{- 1}$

Langkah 1.4.2

Bagilah $1$ dengan $- 1$ .

$y = - 1$

Langkah 1.5

Penyelesaian dari sistem adalah himpunan lengkap dari pasangan terurut yang merupakan penyelesaian valid.

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(- 1, - 1)$

Langkah 2

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Langkah 3

Integralkan untuk menghitung luas antara $- 1$ dan $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - (\sqrt[3]{x}) d x$

Langkah 3.2

Kalikan $- 1$ dengan $\sqrt[3]{x}$ .

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} - \sqrt[3]{x} d x$

Langkah 3.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{- 1}^{1} \frac{1}{x} d x + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Langkah 3.4

Integral dari $\frac{1}{x}$ terhadap $x$ adalah $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} - \sqrt[3]{x} d x$

Langkah 3.5

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Langkah 3.6

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[3]{x}$ sebagai $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - \int_{- 1}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{\frac{1}{3}}$ terhadap $x$ adalah $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{- 1}^{1})$

Langkah 3.8

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.1

Gabungkan $\frac{3}{4}$ dan $x^{\frac{4}{3}}$ .

$\ln (| x |)]_{- 1}^{1} - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Langkah 3.8.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.1

Evaluasi $\ln (| x |)$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$(\ln (| 1 |)) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{- 1}^{1})$

Langkah 3.8.2.2

Evaluasi $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ pada $1$ dan pada $- 1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Langkah 3.8.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Langkah 3.8.2.3.2

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Langkah 3.8.2.3.3

Tulis kembali $- 1$ sebagai ${(- 1)}^{3}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Langkah 3.8.2.3.4

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Langkah 3.8.2.3.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Langkah 3.8.2.3.5.2

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 {(- 1)}^{4}}{4})$

Langkah 3.8.2.3.6

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 1}{4})$

Langkah 3.8.2.3.7

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})$

Langkah 3.8.2.3.8

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{3 - 3}{4}$

Langkah 3.8.2.3.9

Kurangi $3$ dengan $3$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{4}$

Langkah 3.8.2.3.10

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.10.1

Faktorkan $4$ dari $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 (0)}{4}$

Langkah 3.8.2.3.10.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.2.3.10.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Langkah 3.8.2.3.10.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}$

Langkah 3.8.2.3.10.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - \frac{0}{1}$

Langkah 3.8.2.3.10.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) - 0$

Langkah 3.8.2.3.11

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |) + 0$

Langkah 3.8.2.3.12

Tambahkan $\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$ dan $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| - 1 |)$

Langkah 3.8.3

Gunakan sifat hasil bagi dari logaritma, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| - 1 |})$

Langkah 3.8.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.8.4.1

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\ln (\frac{1}{| - 1 |})$

Langkah 3.8.4.2

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $- 1$ dan $0$ adalah $1$ .

$\ln (\frac{1}{1})$

Langkah 3.8.4.3

Bagilah $1$ dengan $1$ .

$\ln (1)$

Langkah 3.9

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$0$

Langkah 4