Kalkulus Contoh

$y = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

Langkah 1

Tulis $y = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{12} x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{12} x^{4}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Karena $\frac{1}{12}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{1}{12} x^{4}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{12} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Langkah 2.1.2.3

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{12}$ .

$f' (x) = \frac{4}{12} x^{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Langkah 2.1.2.4

Gabungkan $\frac{4}{12}$ dan $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Langkah 2.1.2.5

Hapus faktor persekutuan dari $4$ dan $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.1

Faktorkan $4$ dari $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 (x^{3})}{12} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Langkah 2.1.2.5.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.5.2.1

Faktorkan $4$ dari $12$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Langkah 2.1.2.5.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Langkah 2.1.2.5.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{2} x^{2})$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{2}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Karena $- \frac{1}{2}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \frac{1}{2} x^{2}$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} x^{2}$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{2} \cdot (2 x)$

Langkah 2.1.3.3

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 (\frac{1}{2}) \cdot x$

Langkah 2.1.3.4

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 2}{2} x$

Langkah 2.1.3.5

Gabungkan $\frac{- 2}{2}$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- 2 x}{2}$

Langkah 2.1.3.6

Hapus faktor persekutuan dari $- 2$ dan $2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.1

Faktorkan $2$ dari $- 2 x$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2}$

Langkah 2.1.3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.6.2.1

Faktorkan $2$ dari $2$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2 (1)}$

Langkah 2.1.3.6.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{2 (- x)}{2 \cdot 1}$

Langkah 2.1.3.6.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{- x}{1}$

Langkah 2.1.3.6.2.4

Bagilah $- x$ dengan $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{3}}{3} - x$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $\frac{x^{3}}{3} - x$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{3}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 2.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Karena $\frac{1}{3}$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{x^{3}}{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 2.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 2.2.2.3

Gabungkan $3$ dan $\frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 2.2.2.4

Gabungkan $\frac{3}{3}$ dan $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 2.2.2.5

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.5.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 2.2.2.5.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- x)$

Langkah 2.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = x^{2} - \frac{d}{d x} x$

Langkah 2.2.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 1 \cdot 1$

Langkah 2.2.3.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f'' (x) = x^{2} - 1$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{2} - 1$ .

$x^{2} - 1$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{2} - 1 = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$x^{2} - 1 = 0$

Langkah 3.2

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{2} = 1$

Langkah 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 3.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $1$ dalam $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \frac{1}{12} \cdot {(1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.2

Kalikan $\frac{1}{12}$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Langkah 4.1.2.1.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot 1$

Langkah 4.1.2.1.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2}$

Langkah 4.1.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Langkah 4.1.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $12$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{2 \cdot 6}$

Langkah 4.1.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$f (1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{12}$

Langkah 4.1.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (1) = \frac{1 - 6}{12}$

Langkah 4.1.2.5

Kurangi $6$ dengan $1$ .

$f (1) = \frac{- 5}{12}$

Langkah 4.1.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (1) = - \frac{5}{12}$

Langkah 4.1.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{5}{12}$ .

$- \frac{5}{12}$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $1$ dalam $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ adalah $(1, - \frac{5}{12})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(1, - \frac{5}{12})$

Langkah 4.3

Substitusikan $- 1$ dalam $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = \frac{1}{12} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Langkah 4.3.2.1.2

Kalikan $\frac{1}{12}$ dengan $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Langkah 4.3.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan ${(- 1)}^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.1

Pindahkan ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 (\frac{1}{2}))$

Langkah 4.3.2.1.3.2

Kalikan ${(- 1)}^{2}$ dengan $- 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.3.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) (\frac{1}{2}))$

Langkah 4.3.2.1.3.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{2 + 1} (\frac{1}{2})$

Langkah 4.3.2.1.3.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} + {(- 1)}^{3} (\frac{1}{2})$

Langkah 4.3.2.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2}$

Langkah 4.3.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{2}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Langkah 4.3.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $12$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{2}$ dengan $\frac{6}{6}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{2 \cdot 6}$

Langkah 4.3.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $6$ .

$f (- 1) = \frac{1}{12} - \frac{6}{12}$

Langkah 4.3.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f (- 1) = \frac{1 - 6}{12}$

Langkah 4.3.2.5

Kurangi $6$ dengan $1$ .

$f (- 1) = \frac{- 5}{12}$

Langkah 4.3.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f (- 1) = - \frac{5}{12}$

Langkah 4.3.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{5}{12}$ .

$- \frac{5}{12}$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 1$ dalam $f (x) = \frac{1}{12} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2}$ adalah $(- 1, - \frac{5}{12})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 1, - \frac{5}{12})$

Langkah 4.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(1, - \frac{5}{12}), (- 1, - \frac{5}{12})$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1.1) = {(- 1.1)}^{2} - 1$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.1) = 1.21 - 1$

Langkah 6.2.2

Kurangi $1$ dengan $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = 0.21$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.21$ .

$0.21$

Langkah 6.3

Pada $- 1.1$ , turunan keduanya adalah $0.21$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - 1)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = {(0)}^{2} - 1$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = 0 - 1$

Langkah 7.2.2

Kurangi $1$ dengan $0$ .

$f'' (0) = - 1$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 1$ .

$- 1$

Langkah 7.3

Pada $0$ , turunan kedua adalah $- 1$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- 1, 1)$

Menurun pada $(- 1, 1)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.1) = {(1.1)}^{2} - 1$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Naikkan $1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.1) = 1.21 - 1$

Langkah 8.2.2

Kurangi $1$ dengan $1.21$ .

$f'' (1.1) = 0.21$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.21$ .

$0.21$

Langkah 8.3

Pada $1.1$ , turunan keduanya adalah $0.21$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, - \frac{5}{12}), (1, - \frac{5}{12})$ .

$(- 1, - \frac{5}{12}), (1, - \frac{5}{12})$

Langkah 10