Kalkulus Contoh

$y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$

Langkah 1

Tulis $y = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ sebagai fungsi.

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertama dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 243$ .

$\frac{(x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + 243) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 243$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + 243) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 243]}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 243$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243])}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [243])}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.2.5

Karena $243$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $243$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.6.2

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.6.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.6.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.6.3.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot 243 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.6.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $243$ .

$\frac{2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.6.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.3.2.1

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$\frac{486 x + 0}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 2.6.3.2.2

Tambahkan $486 x$ dan $0$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 3

Tentukan turunan kedua dari fungsi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Karena $486$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$ terhadap $x$ adalah $486 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 486 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x^{2} + 243)}^{2}})$

Langkah 3.2

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{({(x^{2} + 243)}^{2})}^{2}})$

Langkah 3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan eksponen dalam ${({(x^{2} + 243)}^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{2 \cdot 2}})$

Langkah 3.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Langkah 3.3.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Langkah 3.3.3

Kalikan ${(x^{2} + 243)}^{2}$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 243)}^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Langkah 3.4

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = x^{2} + 243$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 243$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Langkah 3.4.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Langkah 3.4.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 243$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - x (2 (x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Langkah 3.5

Sederhanakan dengan memfaktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{{(x^{2} + 243)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Langkah 3.5.2

Faktorkan $x^{2} + 243$ dari ${(x^{2} + 243)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2} + 243])$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Faktorkan $x^{2} + 243$ dari ${(x^{2} + 243)}^{2}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) - 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Langkah 3.5.2.2

Faktorkan $x^{2} + 243$ dari $- 2 x ((x^{2} + 243) \frac{d}{d x} [x^{2} + 243])$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) + (x^{2} + 243) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Langkah 3.5.2.3

Faktorkan $x^{2} + 243$ dari $(x^{2} + 243) (x^{2} + 243) + (x^{2} + 243) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 243]))$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{{(x^{2} + 243)}^{4}})$

Langkah 3.6

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.6.1

Faktorkan $x^{2} + 243$ dari ${(x^{2} + 243)}^{4}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{(x^{2} + 243) {(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.6.2

Batalkan faktor persekutuan.

$f'' (x) = 486 (\frac{(x^{2} + 243) (x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243)))}{(x^{2} + 243) {(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.6.3

Tulis kembali pernyataannya.

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.7

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 243$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.8

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.9

Karena $243$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $243$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.10

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.10.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.10.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.11

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.12

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.13

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.14

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{x^{2} + 243 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.15

Kurangi $4 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$f'' (x) = 486 (\frac{- 3 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}})$

Langkah 3.16

Gabungkan $486$ dan $\frac{- 3 x^{2} + 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{486 (- 3 x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 3.17

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{486 (- 3 x^{2}) + 486 \cdot 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 3.17.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.2.1

Kalikan $- 3$ dengan $486$ .

$f'' (x) = \frac{- 1458 x^{2} + 486 \cdot 243}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 3.17.2.2

Kalikan $486$ dengan $243$ .

$f'' (x) = \frac{- 1458 x^{2} + 118098}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 3.17.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.3.1

Faktorkan $1458$ dari $- 1458 x^{2} + 118098$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.17.3.1.1

Faktorkan $1458$ dari $- 1458 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2}) + 118098}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 3.17.3.1.2

Faktorkan $1458$ dari $118098$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2}) + 1458 (81)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 3.17.3.1.3

Faktorkan $1458$ dari $1458 (- x^{2}) + 1458 (81)$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2} + 81)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 3.17.3.2

Tulis kembali $81$ sebagai $9^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (- x^{2} + 9^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 3.17.3.3

Susun kembali $- x^{2}$ dan $9^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (9^{2} - x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 3.17.3.4

Karena kedua suku merupakan kuadrat sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat dua, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ di mana $a = 9$ dan $b = x$ .

$f'' (x) = \frac{1458 (9 + x) (9 - x)}{{(x^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 4

Untuk menentukan nilai maksimum dan minimum lokal dari fungsi, atur turunannya agar sama dengan $0$ , lalu selesaikan.

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$

Langkah 5

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 243) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} + 243) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.2

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $x^{2} + 243$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} + 243) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 243)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 243$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [243]$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (243))}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.5

Karena $243$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $243$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.2.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.3

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.5

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} + 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot 243) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.6.2

Terapkan sifat distributif.

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.6.3

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.3.1.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.3.1.1.1

Pindahkan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.6.3.1.1.2

Kalikan $x$ dengan $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.3.1.1.2.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.6.3.1.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.6.3.1.1.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (243 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.6.3.1.2

Kalikan $2$ dengan $243$ .

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.6.3.2

Gabungkan suku balikan dalam $2 x^{3} + 486 x - 2 x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1.6.3.2.1

Kurangi $2 x^{3}$ dengan $2 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{486 x + 0}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.1.6.3.2.2

Tambahkan $486 x$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 5.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}}$

Langkah 6

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$\frac{486 x}{{(x^{2} + 243)}^{2}} = 0$

Langkah 6.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$486 x = 0$

Langkah 6.3

Bagi setiap suku pada $486 x = 0$ dengan $486$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.1

Bagilah setiap suku di $486 x = 0$ dengan $486$ .

$\frac{486 x}{486} = \frac{0}{486}$

Langkah 6.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $486$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{486 x}{486} = \frac{0}{486}$

Langkah 6.3.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{0}{486}$

Langkah 6.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.3.3.1

Bagilah $0$ dengan $486$ .

$x = 0$

Langkah 7

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 8

Titik kritis untuk dievaluasi.

$x = 0$

Langkah 9

Evaluasi turunan kedua pada $x = 0$ . Jika turunan keduanya positif, maka minimum lokal. Jika negatif, maka maksimum lokal.

$\frac{1458 (9 + 0) (9 - (0))}{{({(0)}^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 10

Evaluasi turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.1

Hilangkan tanda kurung.

$\frac{1458 (9 + 0) (9 - (0))}{{({(0)}^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 10.2

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.2.1.1

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$\frac{1458 (9 + 0) (9 + 0)}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 10.2.1.2

Naikkan $9 + 0$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1458 ({(9 + 0)}^{1} (9 + 0))}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 10.2.1.3

Naikkan $9 + 0$ menjadi pangkat $1$ .

$\frac{1458 ({(9 + 0)}^{1} {(9 + 0)}^{1})}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 10.2.1.4

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$\frac{1458 {(9 + 0)}^{1 + 1}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 10.2.1.5

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$\frac{1458 {(9 + 0)}^{2}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 10.2.2

Tambahkan $9$ dan $0$ .

$\frac{1458 \cdot 9^{2}}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 10.2.3

Naikkan $9$ menjadi pangkat $2$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{{(0^{2} + 243)}^{3}}$

Langkah 10.3

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.3.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{{(0 + 243)}^{3}}$

Langkah 10.3.2

Tambahkan $0$ dan $243$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{243^{3}}$

Langkah 10.3.3

Naikkan $243$ menjadi pangkat $3$ .

$\frac{1458 \cdot 81}{14348907}$

Langkah 10.4

Kurangi pernyataan tersebut dengan menghapus faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.1

Kalikan $1458$ dengan $81$ .

$\frac{118098}{14348907}$

Langkah 10.4.2

Hapus faktor persekutuan dari $118098$ dan $14348907$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.2.1

Faktorkan $59049$ dari $118098$ .

$\frac{59049 (2)}{14348907}$

Langkah 10.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 10.4.2.2.1

Faktorkan $59049$ dari $14348907$ .

$\frac{59049 \cdot 2}{59049 \cdot 243}$

Langkah 10.4.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{59049 \cdot 2}{59049 \cdot 243}$

Langkah 10.4.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$\frac{2}{243}$

Langkah 11

$x = 0$ adalah minimum lokal karena nilai dari turunan keduanya positif. Ini disebut sebagai uji turunan kedua.

$x = 0$ adalah minimum lokal

Langkah 12

Tentukan nilai y ketika $x = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} + 243}$

Langkah 12.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0^{2} + 243}$

Langkah 12.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 12.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 243}$

Langkah 12.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $243$ .

$f (0) = \frac{0}{243}$

Langkah 12.2.3

Bagilah $0$ dengan $243$ .

$f (0) = 0$

Langkah 12.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$y = 0$

Langkah 13

Ini adalah ekstrem lokal untuk $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 243}$ .

$(0, 0)$ adalah minimum lokal

Langkah 14