Kalkulus Contoh

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

Langkah 1.1.2.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0)$

Langkah 1.1.2.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x)$

Langkah 1.1.2.4.2

Gabungkan $2$ dan $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{2}{x^{2} + 1} x$

Langkah 1.1.2.4.3

Gabungkan $\frac{2}{x^{2} + 1}$ dan $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = x^{2} + 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.3.2

Kalikan $x^{2} + 1$ dengan $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{2} + 1$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.6.1

Tambahkan $2 x$ dan $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.3.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.4

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.5

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.6

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.7

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.8

Kurangi $2 x^{2}$ dengan $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.9

Gabungkan $2$ dan $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.10

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.1

Terapkan sifat distributif.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.10.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.10.2.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.2.10.2.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Langkah 2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Langkah 2.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- 2 x^{2} = - 2$

Langkah 2.3.2

Bagi setiap suku pada $- 2 x^{2} = - 2$ dengan $- 2$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.1

Bagilah setiap suku di $- 2 x^{2} = - 2$ dengan $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 2.3.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 2$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 2.3.2.2.1.2

Bagilah $x^{2}$ dengan $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Langkah 2.3.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.2.3.1

Bagilah $- 2$ dengan $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Langkah 2.3.3

Ambil akar yang ditentukan dari kedua sisi persamaan untuk menghilangkan eksponen di sisi kiri.

$x = \pm \sqrt{1}$

Langkah 2.3.4

Sebarang akar dari $1$ adalah $1$ .

$x = \pm 1$

Langkah 2.3.5

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.5.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = 1$

Langkah 2.3.5.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - 1$

Langkah 2.3.5.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = 1, - 1$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ dalam $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 1)$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f (1) = \ln (1 + 1)$

Langkah 3.1.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (1) = \ln (2)$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $1$ dalam $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ adalah $(1, \ln (2))$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(1, \ln (2))$

Langkah 3.3

Substitusikan $- 1$ dalam $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 1) = \ln ({(- 1)}^{2} + 1)$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f (- 1) = \ln (1 + 1)$

Langkah 3.3.2.2

Tambahkan $1$ dan $1$ .

$f (- 1) = \ln (2)$

Langkah 3.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\ln (2)$ .

$\ln (2)$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 1$ dalam $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ adalah $(- 1, \ln (2))$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 1, \ln (2))$

Langkah 3.5

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(1, \ln (2)), (- 1, \ln (2))$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 {(- 1.1)}^{2} + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.1.3

Tambahkan $- 2.42$ dan $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Naikkan $- 1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $1.21$ dan $1$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Langkah 5.2.2.3

Naikkan $2.21$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Langkah 5.2.3

Bagilah $- 0.42$ dengan $4.8841$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.08599332$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Langkah 5.3

Pada $- 1.1$ , turunan kedua adalah $- 0.08599332$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - 1)$

Menurun pada $(- \infty, - 1)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 1, 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $0$ .

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.3

Tambahkan $0$ dan $2$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

Langkah 6.2.3

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$f'' (0) = 2$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $2$ .

$2$

Langkah 6.3

Pada $0$ , turunan keduanya adalah $2$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 1, 1)$ .

Meningkat pada $(- 1, 1)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.1) = \frac{- 2 {(1.1)}^{2} + 2}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $- 2$ dengan $1.21$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.3

Tambahkan $- 2.42$ dan $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Naikkan $1.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $1.21$ dan $1$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

Langkah 7.2.2.3

Naikkan $2.21$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

Langkah 7.2.3

Bagilah $- 0.42$ dengan $4.8841$ .

$f'' (1.1) = - 0.08599332$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 0.08599332$ .

$- 0.08599332$

Langkah 7.3

Pada $1.1$ , turunan kedua adalah $- 0.08599332$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(1, \infty)$

Menurun pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 8

Titik belok adalah sebuah titik pada kurva di mana kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Titik-titik belok dalam kasus ini adalah $(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$ .

$(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$

Langkah 9