Kalkulus Contoh

$x = y^{2}$ , $x = 14 y - y^{2}$

Langkah 1

Untuk menghitung volume benda padat, pertama-tama tetapkan daerah dari setiap potongan kemudian integralkan di seluruh jangkauan. Daerah dari setiap potongan adalah daerah lingkaran dengan jari-jari $f (y)$ dan $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{7} {(f (y))}^{2} - {(g (y))}^{2} d y$ di mana $f (y) = - y^{2} + 14 y$ dan $g (y) = y^{2}$

Langkah 2

Sederhanakan integrannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Tulis kembali ${(- y^{2} + 14 y)}^{2}$ sebagai $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ .

$V = (- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.2

Perluas $(- y^{2} + 14 y) (- y^{2} + 14 y)$ menggunakan Metode FOIL.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Terapkan sifat distributif.

$V = - y^{2} (- y^{2} + 14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.2.2

Terapkan sifat distributif.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2} + 14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.2.3

Terapkan sifat distributif.

$V = - y^{2} (- y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3

Sederhanakan dan gabungkan suku-suku sejenis.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.1

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2} y^{2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.2.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 (y^{2} y^{2})) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{2 + 2}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.2.3

Tambahkan $2$ dan $2$ .

$V = - 1 \cdot (- 1 y^{4}) - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$V = 1 y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.4

Kalikan $y^{4}$ dengan $1$ .

$V = y^{4} - y^{2} (14 y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.5

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{2} y) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.6

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.6.1

Pindahkan $y$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.6.2

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.6.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 (y \cdot y^{2})) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.6.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{1 + 2}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.6.3

Tambahkan $1$ dan $2$ .

$V = y^{4} - 1 \cdot (14 y^{3}) + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.7

Kalikan $- 1$ dengan $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 y (- y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.8

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y \cdot y^{2}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.9

Kalikan $y$ dengan $y^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.9.1

Pindahkan $y^{2}$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.9.2

Kalikan $y^{2}$ dengan $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.9.2.1

Naikkan $y$ menjadi pangkat $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 (y^{2} y)) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.9.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{2 + 1}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.9.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} + 14 \cdot (- 1 y^{3}) + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.10

Kalikan $14$ dengan $- 1$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 y (14 y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.11

Tulis kembali menggunakan sifat komutatif dari perkalian.

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y \cdot y) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.12

Kalikan $y$ dengan $y$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1.12.1

Pindahkan $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 (y \cdot y)) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.12.2

Kalikan $y$ dengan $y$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 14 \cdot (14 y^{2}) - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.1.13

Kalikan $14$ dengan $14$ .

$V = y^{4} - 14 y^{3} - 14 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.3.2

Kurangi $14 y^{3}$ dengan $- 14 y^{3}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - {(y^{2})}^{2}$

Langkah 2.1.4

Kalikan eksponen dalam ${(y^{2})}^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{2 \cdot 2}$

Langkah 2.1.4.2

Kalikan $2$ dengan $2$ .

$V = y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$

Langkah 2.2

Gabungkan suku balikan dalam $y^{4} - 28 y^{3} + 196 y^{2} - y^{4}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Kurangi $y^{4}$ dengan $y^{4}$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2} + 0$

Langkah 2.2.2

Tambahkan $- 28 y^{3} + 196 y^{2}$ dan $0$ .

$V = - 28 y^{3} + 196 y^{2}$

Langkah 3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$V = π (\int_{0}^{7} - 28 y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Langkah 4

Karena $- 28$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $- 28$ keluar dari integral.

$V = π (- 28 \int_{0}^{7} y^{3} d y + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Langkah 5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{3}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{1}{4} y^{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Langkah 6

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $y^{4}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + \int_{0}^{7} 196 y^{2} d y)$

Langkah 7

Karena $196$ konstan terhadap $y$ , pindahkan $196$ keluar dari integral.

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 \int_{0}^{7} y^{2} d y)$

Langkah 8

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $y^{2}$ terhadap $y$ adalah $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{1}{3} y^{3}]_{0}^{7}))$

Langkah 9

Sederhanakan jawabannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $y^{3}$ .

$V = π (- 28 (\frac{y^{4}}{4}]_{0}^{7}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Langkah 9.2

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Evaluasi $\frac{y^{4}}{4}$ pada $7$ dan pada $0$ .

$V = π (- 28 ((\frac{7^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{y^{3}}{3}]_{0}^{7}))$

Langkah 9.2.2

Evaluasi $\frac{y^{3}}{3}$ pada $7$ dan pada $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{7^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Naikkan $7$ menjadi pangkat $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0^{4}}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.3.1

Faktorkan $4$ dari $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 (0)}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - \frac{0}{1}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.3.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} - 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4} + 0) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.5

Tambahkan $\frac{2401}{4}$ dan $0$ .

$V = π (- 28 (\frac{2401}{4}) + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.6

Gabungkan $- 28$ dan $\frac{2401}{4}$ .

$V = π (\frac{- 28 \cdot 2401}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.7

Kalikan $- 28$ dengan $2401$ .

$V = π (\frac{- 67228}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.8

Hapus faktor persekutuan dari $- 67228$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.8.1

Faktorkan $4$ dari $- 67228$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.8.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.8.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 (1)} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.8.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (\frac{4 \cdot - 16807}{4 \cdot 1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.8.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (\frac{- 16807}{1} + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.8.2.4

Bagilah $- 16807$ dengan $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{7^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.9

Naikkan $7$ menjadi pangkat $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0^{3}}{3}))$

Langkah 9.2.3.10

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{3}))$

Langkah 9.2.3.11

Hapus faktor persekutuan dari $0$ dan $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.11.1

Faktorkan $3$ dari $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 (0)}{3}))$

Langkah 9.2.3.11.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.11.2.1

Faktorkan $3$ dari $3$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Langkah 9.2.3.11.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}))$

Langkah 9.2.3.11.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - \frac{0}{1}))$

Langkah 9.2.3.11.2.4

Bagilah $0$ dengan $1$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} - 0))$

Langkah 9.2.3.12

Kalikan $- 1$ dengan $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3} + 0))$

Langkah 9.2.3.13

Tambahkan $\frac{343}{3}$ dan $0$ .

$V = π (- 16807 + 196 (\frac{343}{3}))$

Langkah 9.2.3.14

Gabungkan $196$ dan $\frac{343}{3}$ .

$V = π (- 16807 + \frac{196 \cdot 343}{3})$

Langkah 9.2.3.15

Kalikan $196$ dengan $343$ .

$V = π (- 16807 + \frac{67228}{3})$

Langkah 9.2.3.16

Untuk menuliskan $- 16807$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (- 16807 \cdot \frac{3}{3} + \frac{67228}{3})$

Langkah 9.2.3.17

Gabungkan $- 16807$ dan $\frac{3}{3}$ .

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3}{3} + \frac{67228}{3})$

Langkah 9.2.3.18

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$V = π (\frac{- 16807 \cdot 3 + 67228}{3})$

Langkah 9.2.3.19

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.19.1

Kalikan $- 16807$ dengan $3$ .

$V = π (\frac{- 50421 + 67228}{3})$

Langkah 9.2.3.19.2

Tambahkan $- 50421$ dan $67228$ .

$V = π (\frac{16807}{3})$

Langkah 9.2.3.20

Gabungkan $π$ dan $\frac{16807}{3}$ .

$V = \frac{π \cdot 16807}{3}$

Langkah 9.2.3.21

Pindahkan $16807$ ke sebelah kiri $π$ .

$V = \frac{16807 π}{3}$

Langkah 10

Hasilnya dapat ditampilkan dalam beberapa bentuk.

Bentuk Eksak:

$V = \frac{16807 π}{3}$

Bentuk Desimal:

$V = 17600.24924296 \dots$

Langkah 11