Kalkulus Contoh

$e^{2 x} + e^{- x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $e^{2 x} + e^{- x}$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = 2 x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{1}$ sebagai $2 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.1.2.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ adalah $a^{u_{1}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.1.2.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{1}$ dengan $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.1.2.2

Karena $2$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $2 x$ terhadap $x$ adalah $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.1.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.1.2.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.1.2.5

Pindahkan $2$ ke sebelah kiri $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = e^{x}$ dan $g (x) = - x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u_{2}$ sebagai $- x$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.3.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ adalah $a^{u_{2}} \ln (a)$ di mana $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.3.1.3

Ganti semua kemunculan $u_{2}$ dengan $- x$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

Langkah 1.1.3.2

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- x$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$2 e^{2 x} + e^{- x} \cdot - 1$

Langkah 1.1.3.5

Pindahkan $- 1$ ke sebelah kiri $e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - 1 \cdot e^{- x}$

Langkah 1.1.3.6

Tulis kembali $- 1 e^{- x}$ sebagai $- e^{- x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{- x}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $2 e^{2 x} - e^{- x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{- x} = 0$

Langkah 2.2

Pindahkan $- e^{- x}$ ke sisi kanan persamaan dengan menambahkannya ke kedua sisinya.

$2 e^{2 x} = e^{- x}$

Langkah 2.3

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (2 e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Langkah 2.4

Perluas sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali $\ln (2 e^{2 x})$ sebagai $\ln (2) + \ln (e^{2 x})$ .

$\ln (2) + \ln (e^{2 x}) = \ln (e^{- x})$

Langkah 2.4.2

Perluas $\ln (e^{2 x})$ dengan memindahkan $2 x$ ke luar logaritma.

$\ln (2) + 2 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

Langkah 2.4.3

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (2) + 2 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

Langkah 2.4.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$\ln (2) + 2 x = \ln (e^{- x})$

Langkah 2.5

Perluas sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Perluas $\ln (e^{- x})$ dengan memindahkan $- x$ ke luar logaritma.

$\ln (2) + 2 x = - x \ln (e)$

Langkah 2.5.2

Log alami dari $e$ adalah $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x \cdot 1$

Langkah 2.5.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$\ln (2) + 2 x = - x$

Langkah 2.6

Pindahkan semua suku yang mengandung $x$ ke sisi kiri dari persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Tambahkan $x$ ke kedua sisi persamaan.

$\ln (2) + 2 x + x = 0$

Langkah 2.6.2

Tambahkan $2 x$ dan $x$ .

$\ln (2) + 3 x = 0$

Langkah 2.7

Kurangkan $\ln (2)$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$3 x = - \ln (2)$

Langkah 2.8

Bagi setiap suku pada $3 x = - \ln (2)$ dengan $3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.1

Bagilah setiap suku di $3 x = - \ln (2)$ dengan $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Langkah 2.8.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \ln (2)}{3}$

Langkah 2.8.2.1.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{- \ln (2)}{3}$

Langkah 2.8.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.8.3.1

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$x = - \frac{\ln (2)}{3}$

Langkah 3

Tentukan nilai saat turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Domain dari pernyataan adalah semua bilangan riil, kecuali di mana pernyataannya tidak terdefinisi. Dalam hal ini, tidak ada bilangan riil yang membuat pernyataannya tidak terdefinisi.

Langkah 4

Evaluasi $e^{2 x} + e^{- x}$ di setiap nilai $x$ di mana turunannya adalah $0$ atau tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Evaluasi pada $x = - \frac{\ln (2)}{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Substitusikan $- \frac{\ln (2)}{3}$ untuk $x$ .

$e^{2 (- \frac{\ln (2)}{3})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Tulis kembali $\frac{\ln (2)}{3}$ sebagai $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$e^{2 (- (\frac{1}{3} \ln (2)))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2.2

Sederhanakan $\frac{1}{3} \ln (2)$ dengan memindahkan $\frac{1}{3}$ ke dalam logaritma.

$e^{2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2.3

Kalikan $2 (- \ln (2^{\frac{1}{3}}))$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.3.1

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$e^{- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2.3.2

Sederhanakan $- 2 \ln (2^{\frac{1}{3}})$ dengan memindahkan $2$ ke dalam logaritma.

$e^{- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2.4

Sederhanakan $- \ln ({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})$ dengan memindahkan $- 1$ ke dalam logaritma.

$e^{\ln ({({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1})} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2.5

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2.6

Kalikan eksponen dalam ${({(2^{\frac{1}{3}})}^{2})}^{- 1}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.6.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{2 \cdot - 1} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2.6.2

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2.7

Kalikan eksponen dalam ${(2^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.7.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{3} \cdot - 2} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2.7.2

Gabungkan $\frac{1}{3}$ dan $- 2$ .

$2^{\frac{- 2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2.7.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$2^{- \frac{2}{3}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2.8

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- (- \frac{\ln (2)}{3})}$

Langkah 4.1.2.9

Tulis kembali $\frac{\ln (2)}{3}$ sebagai $\frac{1}{3} \ln (2)$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - (\frac{1}{3} \ln (2))}$

Langkah 4.1.2.10

Sederhanakan $\frac{1}{3} \ln (2)$ dengan memindahkan $\frac{1}{3}$ ke dalam logaritma.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{- - \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Langkah 4.1.2.11

Kalikan $- - \ln (2^{\frac{1}{3}})$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.11.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{1 \ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Langkah 4.1.2.11.2

Kalikan $\ln (2^{\frac{1}{3}})$ dengan $1$ .

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + e^{\ln (2^{\frac{1}{3}})}$

Langkah 4.1.2.12

Eksponensial dan logaritma adalah fungsi balikan.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}}$

Langkah 4.2

Tuliskan semua titik-titiknya.

$(- \frac{\ln (2)}{3}, \frac{1}{2^{\frac{2}{3}}} + 2^{\frac{1}{3}})$

Langkah 5