Kalkulus Contoh

$1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 1

Tulis $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ sebagai fungsi.

$f (x) = 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

Langkah 2

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Langkah 2.1.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Langkah 2.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Tulis kembali $\frac{1}{x}$ sebagai $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}})$

Langkah 2.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.1

Tulis kembali $\frac{1}{x^{2}}$ sebagai ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1})$

Langkah 2.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{- 1}$ dan $g (x) = x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 2.1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Langkah 2.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}$

Langkah 2.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - {(x^{2})}^{- 2} (2 x)$

Langkah 2.1.3.4

Kalikan eksponen dalam ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.3.4.1

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - x^{2 \cdot - 2} (2 x)$

Langkah 2.1.3.4.2

Kalikan $2$ dengan $- 2$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - x^{- 4} (2 x)$

Langkah 2.1.3.5

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 x^{- 4} x$

Langkah 2.1.3.6

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 (x \cdot x^{- 4})$

Langkah 2.1.3.7

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 x^{1 - 4}$

Langkah 2.1.3.8

Kurangi $4$ dengan $1$ .

$f' (x) = 0 - x^{- 2} - 2 x^{- 3}$

Langkah 2.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.1

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 2 x^{- 3}$

Langkah 2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 2.1.4.3

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.4.3.1

Kurangi $\frac{1}{x^{2}}$ dengan $0$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - 2 \frac{1}{x^{3}}$

Langkah 2.1.4.3.2

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{- 2}{x^{3}}$

Langkah 2.1.4.3.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 2.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}}$

Langkah 3

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$

Langkah 3.2

Tentukan penyebut persekutuan terkecil dari suku-suku dalam persamaan tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.1

Menentukan penyebut sekutu terkecil dari daftar nilai sama dengan mencari KPK dari penyebut dari nilai-nilai-tersebut.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Langkah 3.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

Langkah 3.2.3

KPK-nya adalah bilangan positif terkecil yang semua bilangannya dibagi secara merata.

1. Sebutkan faktor prima dari masing-masing bilangan.

2. Kalikan masing-masing faktor dengan jumlah terbesar dari kedua bilangan tersebut.

Langkah 3.2.4

Bilangan $1$ bukan bilangan prima karena bilangan tersebut hanya memiliki satu faktor positif, yaitu bilangan itu sendiri.

Bukan bilangan prima

Langkah 3.2.5

KPK dari $1, 1, 1$ adalah hasil perkalian semua faktor prima yang paling banyak muncul pada kedua bilangan tersebut.

$1$

Langkah 3.2.6

Faktor-faktor untuk $x^{2}$ adalah $x \cdot x$ , yaitu $x$ dikalikan satu sama lain $2$ kali.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ terjadi $2$ kali.

Langkah 3.2.7

Faktor-faktor untuk $x^{3}$ adalah $x \cdot x \cdot x$ , yaitu $x$ dikalikan satu sama lain $3$ kali.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ terjadi $3$ kali.

Langkah 3.2.8

KPK dari $x^{2}, x^{3}$ adalah hasil dari mengalikan semua faktor prima dengan frekuensi terbanyak yang muncul pada kedua pernyataan tersebut.

$x \cdot x \cdot x$

Langkah 3.2.9

Sederhanakan $x \cdot x \cdot x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.1

Kalikan $x$ dengan $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Langkah 3.2.9.2

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.2.1

Kalikan $x^{2}$ dengan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.2.9.2.1.1

Naikkan $x$ menjadi pangkat $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Langkah 3.2.9.2.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$x^{2 + 1}$

Langkah 3.2.9.2.2

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$x^{3}$

Langkah 3.3

Kalikan setiap suku pada $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ dengan $x^{3}$ untuk mengeliminasi pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Kalikan setiap suku dalam $- \frac{1}{x^{2}} - \frac{2}{x^{3}} = 0$ dengan $x^{3}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{3} - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.1.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{1}{x^{2}}$ ke dalam pembilangnya.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{3} - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 3.3.2.1.1.2

Faktorkan $x^{2}$ dari $x^{3}$ .

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 3.3.2.1.1.3

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x) - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 3.3.2.1.1.4

Tulis kembali pernyataannya.

$- x - \frac{2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x^{3}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1.2.1

Pindahkan negatif pertama pada $- \frac{2}{x^{3}}$ ke dalam pembilangnya.

$- x + \frac{- 2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- x + \frac{- 2}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Langkah 3.3.2.1.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- x - 2 = 0 x^{3}$

Langkah 3.3.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Kalikan $0$ dengan $x^{3}$ .

$- x - 2 = 0$

Langkah 3.4

Selesaikan persamaan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.1

Tambahkan $2$ ke kedua sisi persamaan.

$- x = 2$

Langkah 3.4.2

Bagi setiap suku pada $- x = 2$ dengan $- 1$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.1

Bagilah setiap suku di $- x = 2$ dengan $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{2}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.2.1

Membagi dua nilai negatif menghasilkan nilai positif.

$\frac{x}{1} = \frac{2}{- 1}$

Langkah 3.4.2.2.2

Bagilah $x$ dengan $1$ .

$x = \frac{2}{- 1}$

Langkah 3.4.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.4.2.3.1

Bagilah $2$ dengan $- 1$ .

$x = - 2$

Langkah 4

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $- 2$ .

$- 2$

Langkah 5

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Atur penyebut dalam $\frac{1}{x^{2}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{2} = 0$

Langkah 5.2

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 5.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 5.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 5.3

Atur penyebut dalam $\frac{2}{x^{3}}$ agar sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x^{3} = 0$

Langkah 5.4

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Langkah 5.4.2

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.4.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 5.4.2.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$x = 0$

Langkah 6

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = - \frac{1}{{(- 3)}^{2}} - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} - \frac{2}{{(- 3)}^{3}}$

Langkah 7.2.1.2

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} - \frac{2}{- 27}$

Langkah 7.2.1.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} + \frac{2}{27}$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $- - \frac{2}{27}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.4.1

Kalikan $- 1$ dengan $- 1$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} + 1 (\frac{2}{27})$

Langkah 7.2.1.4.2

Kalikan $\frac{2}{27}$ dengan $1$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} + \frac{2}{27}$

Langkah 7.2.2

Untuk menuliskan $- \frac{1}{9}$ sebagai pecahan dengan penyebut umum, kalikan dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{1}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{27}$

Langkah 7.2.3

Tulis setiap pernyataan menggunakan penyebut umum dari $27$ , dengan mengalikan masing-masing pembilang dan penyebut dengan faktor dari $1$ yang sesuai.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Kalikan $\frac{1}{9}$ dengan $\frac{3}{3}$ .

$f' (- 3) = - \frac{3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{27}$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $9$ dengan $3$ .

$f' (- 3) = - \frac{3}{27} + \frac{2}{27}$

Langkah 7.2.4

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 3) = \frac{- 3 + 2}{27}$

Langkah 7.2.5

Tambahkan $- 3$ dan $2$ .

$f' (- 3) = \frac{- 1}{27}$

Langkah 7.2.6

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 3) = - \frac{1}{27}$

Langkah 7.2.7

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{27}$ .

$- \frac{1}{27}$

Langkah 7.3

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $- \frac{1}{27}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, - 2)$ .

Menurun pada $(- \infty, - 2)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}} - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Langkah 8.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (- 1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Langkah 8.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (- 1) = - 1 \cdot 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Langkah 8.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = - 1 - \frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Langkah 8.2.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f' (- 1) = - 1 - \frac{2}{- 1}$

Langkah 8.2.1.5

Bagilah $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = - 1 + 2$

Langkah 8.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $- 2$ .

$f' (- 1) = - 1 + 2$

Langkah 8.2.2

Tambahkan $- 1$ dan $2$ .

$f' (- 1) = 1$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $1$ .

$1$

Langkah 8.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $1$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- 2, 0)$ .

Meningkat pada $(- 2, 0)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = - \frac{1}{{(1)}^{2}} - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Langkah 9.2.1.2

Batalkan faktor persekutuan dari $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f' (1) = - \frac{1}{1} - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Langkah 9.2.1.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f' (1) = - 1 \cdot 1 - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Langkah 9.2.1.3

Kalikan $- 1$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 1 - \frac{2}{{(1)}^{3}}$

Langkah 9.2.1.4

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = - 1 - \frac{2}{1}$

Langkah 9.2.1.5

Bagilah $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = - 1 - 1 \cdot 2$

Langkah 9.2.1.6

Kalikan $- 1$ dengan $2$ .

$f' (1) = - 1 - 2$

Langkah 9.2.2

Kurangi $2$ dengan $- 1$ .

$f' (1) = - 3$

Langkah 9.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- 3$ .

$- 3$

Langkah 9.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $- 3$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, \infty)$ .

Menurun pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 10

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- 2, 0)$

Menurun pada: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Langkah 11