Kalkulus Contoh

$f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Langkah 1.1.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [3 \cos (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Karena $3$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $3 \cos (x)$ terhadap $x$ adalah $3 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Langkah 1.1.2.3

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \cos^{3} (x))$

Langkah 1.1.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [- \cos^{3} (x)]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- \cos^{3} (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{d}{d x} [\cos^{3} (x)]$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - \frac{d}{d x} \cos^{3} (x)$

Langkah 1.1.3.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = \cos (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 1.1.3.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 u^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 1.1.3.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Langkah 1.1.3.3

Turunan dari $\cos (x)$ terhadap $x$ adalah $- \sin (x)$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (3 \cos^{2} (x) (- \sin (x)))$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) - (- 3 \cos^{2} (x) \sin (x))$

Langkah 1.1.3.5

Kalikan $- 3$ dengan $- 1$ .

$f' (x) = - 3 \sin (x) + 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = 3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$

Langkah 1.1.4.2

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $3 \cos^{2} (x) \sin (x) - 3 \sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.2.1

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) - 3 \sin (x)$

Langkah 1.1.4.2.2

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $- 3 \sin (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$

Langkah 1.1.4.2.3

Faktorkan $3 \sin (x)$ dari $3 \sin (x) (\cos^{2} (x)) + 3 \sin (x) (- 1)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (\cos^{2} (x) - 1)$

Langkah 1.1.4.3

Susun kembali $\cos^{2} (x)$ dan $- 1$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 + \cos^{2} (x))$

Langkah 1.1.4.4

Tulis kembali $- 1$ sebagai $- 1 (1)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (x))$

Langkah 1.1.4.5

Faktorkan $- 1$ dari $\cos^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Langkah 1.1.4.6

Faktorkan $- 1$ dari $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Langkah 1.1.4.7

Tulis kembali $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ sebagai $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$f' (x) = 3 \sin (x) (- (1 - \cos^{2} (x)))$

Langkah 1.1.4.8

Terapkan identitas pythagoras.

$f' (x) = 3 \sin (x) (- \sin^{2} (x))$

Langkah 1.1.4.9

Kalikan $\sin (x)$ dengan $\sin^{2} (x)$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.9.1

Pindahkan $\sin^{2} (x)$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Langkah 1.1.4.9.2

Kalikan $\sin^{2} (x)$ dengan $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.9.2.1

Naikkan $\sin (x)$ menjadi pangkat $1$ .

$f' (x) = 3 (\sin^{2} (x) \sin (x)) \cdot - 1$

Langkah 1.1.4.9.2.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f' (x) = 3 {\sin (x)}^{2 + 1} \cdot - 1$

Langkah 1.1.4.9.3

Tambahkan $2$ dan $1$ .

$f' (x) = 3 \sin^{3} (x) \cdot - 1$

Langkah 1.1.4.10

Kalikan $- 1$ dengan $3$ .

$f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- 3 \sin^{3} (x)$ .

$- 3 \sin^{3} (x)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$- 3 \sin^{3} (x) = 0$

Langkah 2.2

Bagi setiap suku pada $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ dengan $- 3$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah setiap suku di $- 3 \sin^{3} (x) = 0$ dengan $- 3$ .

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $- 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{- 3 \sin^{3} (x)}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Langkah 2.2.2.1.2

Bagilah $\sin^{3} (x)$ dengan $1$ .

$\sin^{3} (x) = \frac{0}{- 3}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $- 3$ .

$\sin^{3} (x) = 0$

Langkah 2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \sqrt[3]{0}$

Langkah 2.4

Sederhanakan $\sqrt[3]{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{3}$ .

$\sin (x) = \sqrt[3]{0^{3}}$

Langkah 2.4.2

Tarik suku-suku keluar dari bawah akar, dengan asumsi bilangan-bilangan riil.

$\sin (x) = 0$

Langkah 2.5

Ambil sinus balikan dari kedua sisi persamaan untuk mendapatkan $x$ dari dalam sinus.

$x = \arcsin (0)$

Langkah 2.6

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Nilai eksak dari $\arcsin (0)$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.7

Fungsi sinus positif di kuadran pertama dan kedua. Untuk menemukan penyelesaian kedua, kurangi sudut acuan dari $π$ untuk menemukan penyelesaian di kuadran kedua.

$x = π - 0$

Langkah 2.8

Kurangi $0$ dengan $π$ .

$x = π$

Langkah 2.9

Tentukan periode dari $\sin (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.9.1

Periode fungsi dapat dihitung menggunakan $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Langkah 2.9.2

Ganti $b$ dengan $1$ dalam rumus untuk periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Langkah 2.9.3

Nilai mutlak adalah jarak antara sebuah bilangan dan nol. Jarak antara $0$ dan $1$ adalah $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Langkah 2.9.4

Bagilah $2 π$ dengan $1$ .

$2 π$

Langkah 2.10

Periode dari fungsi $\sin (x)$ adalah $2 π$ sehingga nilai-nilai akan berulang setiap $2 π$ radian di kedua arah.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 2.11

Gabungkan jawabannya.

$x = π n$ , untuk sebarang bilangan bulat $n$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $π n$ .

$π n$

Langkah 4

Setelah mencari titik yang membuat turunan $f' (x) = - 3 \sin^{3} (x)$ sama dengan $0$ atau tidak terdefinisi, interval untuk memeriksa di mana $f (x) = 3 \cos (x) - \cos^{3} (x)$ meningkat dan di mana menurun yaitu $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, π n)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $π n - 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (π n - 1) = - 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Langkah 5.2

Jawaban akhirnya adalah $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Langkah 5.3

Sederhanakan.

$- 3 \sin^{3} (π n - 1)$

Langkah 5.4

Pada $x = π n - 1$ , turunannya adalah $- 3 \sin^{3} (π n - 1)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- \infty, π n)$ .

Menurun pada $(- \infty, π n)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(π n, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $π n + 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (π n + 1) = - 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Langkah 6.2

Jawaban akhirnya adalah $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ .

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Langkah 6.3

Sederhanakan.

$- 3 \sin^{3} (π n + 1)$

Langkah 6.4

Pada $x = π n + 1$ , turunannya adalah $- 3 \sin^{3} (π n + 1)$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(π n, \infty)$ .

Menurun pada $(π n, \infty)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Menurun pada: $(- \infty, π n), (π n, \infty)$

Langkah 8