Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{2}$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Langkah 1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan $x e^{x}$ dari $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $x e^{x}$ dari $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan $x e^{x}$ dari $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Langkah 2.2.3

Faktorkan $x e^{x}$ dari $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x$ sama dengan $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 2.5.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.5.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.6

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 2.6.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x e^{x} (x + 2) = 0$ benar.

$x = 0, - 2$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $0, - 2$ .

$0, - 2$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 2)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 3$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 3) = {(- 3)}^{2} e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 3$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 3) = 9 e^{- 3} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Langkah 5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = 9 (\frac{1}{e^{3}}) + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Langkah 5.2.1.3

Gabungkan $9$ dan $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + 2 (- 3) \cdot e^{- 3}$

Langkah 5.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 3$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot e^{- 3}$

Langkah 5.2.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - 6 \cdot \frac{1}{e^{3}}$

Langkah 5.2.1.6

Gabungkan $- 6$ dan $\frac{1}{e^{3}}$ .

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} + \frac{- 6}{e^{3}}$

Langkah 5.2.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 3) = \frac{9}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}$

Langkah 5.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 3) = \frac{9 - 6}{e^{3}}$

Langkah 5.2.2.2

Kurangi $6$ dengan $9$ .

$f' (- 3) = \frac{3}{e^{3}}$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{3}{e^{3}}$ .

$\frac{3}{e^{3}}$

Langkah 5.3

Pada $x = - 3$ , turunannya adalah $\frac{3}{e^{3}}$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(- \infty, - 2)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 2)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 0)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f' (- 1) = 1 e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Langkah 6.2.1.2

Kalikan $e^{- 1}$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = e^{- 1} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Langkah 6.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + 2 (- 1) \cdot e^{- 1}$

Langkah 6.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot e^{- 1}$

Langkah 6.2.1.5

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - 2 \cdot \frac{1}{e}$

Langkah 6.2.1.6

Gabungkan $- 2$ dan $\frac{1}{e}$ .

$f' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 2}{e}$

Langkah 6.2.1.7

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{2}{e}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f' (- 1) = \frac{1 - 2}{e}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Kurangi $2$ dengan $1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 1}{e}$

Langkah 6.2.2.2.2

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f' (- 1) = - \frac{1}{e}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e}$

Langkah 6.3

Pada $x = - 1$ , turunannya adalah $- \frac{1}{e}$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(- 2, 0)$ .

Menurun pada $(- 2, 0)$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1) = {(1)}^{2} e^{1} + 2 (1) \cdot e^{1}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Satu dipangkat berapa pun sama dengan satu.

$f' (1) = 1 e + 2 (1) \cdot e$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $e^{1}$ dengan $1$ .

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

Langkah 7.2.1.3

Sederhanakan.

$f' (1) = e + 2 (1) \cdot e$

Langkah 7.2.1.4

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$f' (1) = e + 2 e$

Langkah 7.2.2

Tambahkan $e$ dan $2 e$ .

$f' (1) = 3 e$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $3 e$ .

$3 e$

Langkah 7.3

Pada $x = 1$ , turunannya adalah $3 e$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 8

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(- \infty, - 2), (0, \infty)$

Menurun pada: $(- 2, 0)$

Langkah 9