Kalkulus Contoh

$f (x) = x \ln (x)$

Langkah 1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Langkah 1.1.3.4

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Langkah 1.2

Turunan pertama dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $1 + \ln (x)$ .

$1 + \ln (x)$

Langkah 2

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $1 + \ln (x) = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Buat turunan pertamanya agar sama dengan $0$ .

$1 + \ln (x) = 0$

Langkah 2.2

Kurangkan $1$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$\ln (x) = - 1$

Langkah 2.3

Untuk menyelesaikan $x$ , tulis kembali persamaannya menggunakan sifat-sifat logaritma.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Langkah 2.4

Tulis kembali $\ln (x) = - 1$ dalam bentuk eksponensial menggunakan aturan dasar logaritma. Jika $x$ dan $b$ adalah bilangan riil positif dan $b \neq 1$ , maka $\log_{b} (x) = y$ setara dengan $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Langkah 2.5

Selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Tulis kembali persamaan tersebut sebagai $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Langkah 2.5.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Langkah 3

Nilai-nilai yang membuat turunannya sama dengan $0$ adalah $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Langkah 4

Tentukan di mana turunannya tidak terdefinisi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih kecil dari atau sama dengan $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya tidak terdefinisi.

$x \leq 0$

Langkah 4.2

Persamaan tidak terdefinisi di mana penyebutnya sama dengan $0$ , argumen dari akar kuadratnya lebih kecil dari $0$ , atau argumen dari logaritmanya lebih kecil dari atau sama dengan $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval terpisah di sekitar nilai $x$ yang menjadikan turunan $0$ atau tidak terdefinisi.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{e}) \cup (\frac{1}{e}, \infty)$

Langkah 6

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, \frac{1}{e})$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(0, \frac{1}{e})$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.18393972$ pada pernyataan tersebut.

$f' (0.18393972) = 1 + \ln (0.18393972)$

Langkah 7.2

Jawaban akhirnya adalah $1 + \ln (0.18393972)$ .

$1 + \ln (0.18393972)$

Langkah 7.3

Sederhanakan.

$- 0.69314715$

Langkah 7.4

Pada $x = 0.18393972$ , turunannya adalah $- 0.69314715$ . Karena ini negatif, fungsinya menurun pada $(0, \frac{1}{e})$ .

Menurun pada $(0, \frac{1}{e})$ karena $f' (x) < 0$

Langkah 8

Kecualikan interval-intervalnya yang tidak ada di dalam domainnya.

$(0, \frac{1}{e}), (\frac{1}{e}, \infty)$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(\frac{1}{e}, \infty)$ ke dalam turunannya untuk menentukan apakah fungsinya naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.36787945$ pada pernyataan tersebut.

$f' (1.36787945) = 1 + \ln (1.36787945)$

Langkah 9.2

Jawaban akhirnya adalah $1 + \ln (1.36787945)$ .

$1 + \ln (1.36787945)$

Langkah 9.3

Sederhanakan.

$1.31326169$

Langkah 9.4

Pada $x = 1.36787945$ , turunannya adalah $1.31326169$ . Karena ini positif, fungsinya meningkat pada $(\frac{1}{e}, \infty)$ .

Meningkat pada $(\frac{1}{e}, \infty)$ karena $f' (x) > 0$

Langkah 10

Sebutkan interval-interval yang fungsinya naik dan turun.

Meningkat pada: $(\frac{1}{e}, \infty)$

Menurun pada: $(0, \frac{1}{e})$

Langkah 11