Kalkulus Contoh

$y = 64 - x^{3}$ , $[2, 4]$

Langkah 1

Selesaikan dengan substitusi untuk mencari perpotongan antara kurva-kurvanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Eliminasi sisi yang sama dari setiap persamaan dan gabungkan.

$64 - x^{3} = 0$

Langkah 1.2

Selesaikan $64 - x^{3} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Kurangkan $64$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$- x^{3} = - 64$

Langkah 1.2.2

Tambahkan $64$ ke kedua sisi persamaan.

$- x^{3} + 64 = 0$

Langkah 1.2.3

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{3} + 64$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1.1

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 64 = 0$

Langkah 1.2.3.1.2

Tulis kembali $64$ sebagai $- 1 (- 64)$ .

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 64 = 0$

Langkah 1.2.3.1.3

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{3}) - 1 (- 64)$ .

$- (x^{3} - 64) = 0$

Langkah 1.2.3.2

Tulis kembali $64$ sebagai $4^{3}$ .

$- (x^{3} - 4^{3}) = 0$

Langkah 1.2.3.3

Karena kedua suku adalah pangkat tiga sempurna, faktorkan menggunakan rumus beda pangkat tiga. $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ di mana $a = x$ dan $b = 4$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + x \cdot 4 + 4^{2})) = 0$

Langkah 1.2.3.4

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.4.1

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.4.1.1

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $x$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 4^{2})) = 0$

Langkah 1.2.3.4.1.2

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$- ((x - 4) (x^{2} + 4 x + 16)) = 0$

Langkah 1.2.3.4.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$

Langkah 1.2.4

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 4 x + 16 = 0 + y = 0$

Langkah 1.2.5

Atur $x - 4$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.5.1

Atur $x - 4$ sama dengan $0$ .

$x - 4 = 0$

Langkah 1.2.5.2

Tambahkan $4$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 4$

Langkah 1.2.6

Atur $x^{2} + 4 x + 16$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.1

Atur $x^{2} + 4 x + 16$ sama dengan $0$ .

$x^{2} + 4 x + 16 = 0$

Langkah 1.2.6.2

Selesaikan $x^{2} + 4 x + 16 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.1

Gunakan rumus kuadrat untuk menghitung penyelesaiannya.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 0$

Langkah 1.2.6.2.2

Substitusikan nilai-nilai $a = 1$ , $b = 4$ , dan $c = 16$ ke dalam rumus kuadrat, lalu selesaikan $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1} + y = 0$

Langkah 1.2.6.2.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.3

Kurangi $64$ dengan $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.4

Tulis kembali $- 48$ sebagai $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (48)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.7

Tulis kembali $48$ sebagai $4^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.3.1.7.1

Faktorkan $16$ dari $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.7.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.3.1.9

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.3.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 1.2.6.2.3.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.6.2.4

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $+$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.4.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.4.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.4.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.1.3

Kurangi $64$ dengan $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.1.4

Tulis kembali $- 48$ sebagai $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (48)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.1.7

Tulis kembali $48$ sebagai $4^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.4.1.7.1

Faktorkan $16$ dari $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.1.7.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.1.9

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.4.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 1.2.6.2.4.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.6.2.4.4

Ubah $\pm$ menjadi $+$ .

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.6.2.5

Sederhanakan pernyataan untuk menyelesaikan bagian $-$ dari $\pm$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.5.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.5.1.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.5.1.2

Kalikan $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.5.1.2.1

Kalikan $- 4$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.5.1.2.2

Kalikan $- 4$ dengan $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 64}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.5.1.3

Kurangi $64$ dengan $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.5.1.4

Tulis kembali $- 48$ sebagai $- 1 (48)$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1 \cdot 48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.5.1.5

Tulis kembali $\sqrt{- 1 (48)}$ sebagai $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.5.1.6

Tulis kembali $\sqrt{- 1}$ sebagai $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{48}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.5.1.7

Tulis kembali $48$ sebagai $4^{2} \cdot 3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.6.2.5.1.7.1

Faktorkan $16$ dari $48$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.5.1.7.2

Tulis kembali $16$ sebagai $4^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.5.1.8

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar.

$x = \frac{- 4 \pm i \cdot (4 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.5.1.9

Pindahkan $4$ ke sebelah kiri $i$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Langkah 1.2.6.2.5.2

Kalikan $2$ dengan $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$

Langkah 1.2.6.2.5.3

Sederhanakan $\frac{- 4 \pm 4 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm 2 i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.6.2.5.4

Ubah $\pm$ menjadi $-$ .

$x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.6.2.6

Jawaban akhirnya adalah kombinasi dari kedua penyelesaian tersebut.

$x = - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Langkah 1.2.7

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $- (x - 4) (x^{2} + 4 x + 16) = 0$ benar.

$x = 4, - 2 + 2 i \sqrt{3}, - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Langkah 1.3

Substitusikan $4$ untuk $x$ .

$y = 0$

Langkah 1.4

Sebutkan semua penyelesaiannya.

$y = 0, x = 4$

$y = 0, x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

$y = 0, x = 4$

$y = 0, x = - 2 + 2 i \sqrt{3}$

$y = 0, x = - 2 - 2 i \sqrt{3}$

Langkah 2

Susun kembali $64$ dan $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + 64$

Langkah 3

Luas daerah di antara kurva didefinisikan sebagai integral dari kurva atas dikurangi integral kurva bawah di sepanjang setiap daerah. Daerahnya ditentukan oleh perpotongan titik pada kurva. Daerah ini dapat ditentukan menggunakan aljabar atau grafik.

$A r e a = \int_{2}^{4} - x^{3} + 64 d x - \int_{2}^{4} 0 d x$

Langkah 4

Integralkan untuk menghitung luas antara $2$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Gabungkan integral-integral tersebut menjadi integral tunggal.

$\int_{2}^{4} - x^{3} + 64 - (0) d x$

Langkah 4.2

Kurangi $0$ dengan $- x^{3} + 64$ .

$\int_{2}^{4} - x^{3} + 64 d x$

Langkah 4.3

Bagi integral tunggal menjadi beberapa integral.

$\int_{2}^{4} - x^{3} d x + \int_{2}^{4} 64 d x$

Langkah 4.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , pindahkan $- 1$ keluar dari integral.

$- \int_{2}^{4} x^{3} d x + \int_{2}^{4} 64 d x$

Langkah 4.5

Menurut Kaidah Pangkat, integral dari $x^{3}$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} x^{4}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 64 d x$

Langkah 4.6

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $x^{4}$ .

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{2}^{4}) + \int_{2}^{4} 64 d x$

Langkah 4.7

Terapkan aturan konstanta.

$- (\frac{x^{4}}{4}]_{2}^{4}) + 64 x]_{2}^{4}$

Langkah 4.8

Substitusikan dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.1

Evaluasi $\frac{x^{4}}{4}$ pada $4$ dan pada $2$ .

$- ((\frac{4^{4}}{4}) - \frac{2^{4}}{4}) + 64 x]_{2}^{4}$

Langkah 4.8.2

Evaluasi $64 x$ pada $4$ dan pada $2$ .

$- (\frac{4^{4}}{4} - \frac{2^{4}}{4}) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.1

Naikkan $4$ menjadi pangkat $4$ .

$- (\frac{256}{4} - \frac{2^{4}}{4}) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.2

Hapus faktor persekutuan dari $256$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.2.1

Faktorkan $4$ dari $256$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4} - \frac{2^{4}}{4}) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.2.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 (1)} - \frac{2^{4}}{4}) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.2.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (\frac{4 \cdot 64}{4 \cdot 1} - \frac{2^{4}}{4}) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.2.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (\frac{64}{1} - \frac{2^{4}}{4}) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.2.2.4

Bagilah $64$ dengan $1$ .

$- (64 - \frac{2^{4}}{4}) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.3

Naikkan $2$ menjadi pangkat $4$ .

$- (64 - \frac{16}{4}) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.4

Hapus faktor persekutuan dari $16$ dan $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.4.1

Faktorkan $4$ dari $16$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 4}{4}) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.4.2

Batalkan faktor persekutuan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.8.3.4.2.1

Faktorkan $4$ dari $4$ .

$- (64 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.4.2.2

Batalkan faktor persekutuan.

$- (64 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.4.2.3

Tulis kembali pernyataannya.

$- (64 - \frac{4}{1}) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.4.2.4

Bagilah $4$ dengan $1$ .

$- (64 - 1 \cdot 4) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.5

Kalikan $- 1$ dengan $4$ .

$- (64 - 4) + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.6

Kurangi $4$ dengan $64$ .

$- 1 \cdot 60 + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.7

Kalikan $- 1$ dengan $60$ .

$- 60 + 64 \cdot 4 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.8

Kalikan $64$ dengan $4$ .

$- 60 + 256 - 64 \cdot 2$

Langkah 4.8.3.9

Kalikan $- 64$ dengan $2$ .

$- 60 + 256 - 128$

Langkah 4.8.3.10

Kurangi $128$ dengan $256$ .

$- 60 + 128$

Langkah 4.8.3.11

Tambahkan $- 60$ dan $128$ .

$68$

Langkah 5