Kalkulus Contoh

$f (x) = x \ln (x)$

Langkah 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x$ dan $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.1

Gabungkan $x$ dan $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.3.2

Batalkan faktor persekutuan dari $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.3.2.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya.

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

Langkah 1.1.1.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$1 + \ln (x) \cdot 1$

Langkah 1.1.1.3.4

Kalikan $\ln (x)$ dengan $1$ .

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

Langkah 1.1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $1 + \ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 1.1.2.1.2

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Langkah 1.1.2.2

Turunan dari $\ln (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$0 + \frac{1}{x}$

Langkah 1.1.2.3

Tambahkan $0$ dan $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

Langkah 1.1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Langkah 1.2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $\frac{1}{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$\frac{1}{x} = 0$

Langkah 1.2.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$1 = 0$

Langkah 1.2.3

Karena $1 \neq 0$ , tidak ada penyelesaian.

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2

Tentukan domain dari $f (x) = x \ln (x)$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur argumen dalam $\ln (x)$ agar lebih besar dari $0$ untuk menentukan di mana pernyataannya terdefinisi.

$x > 0$

Langkah 2.2

Domain adalah semua nilai dari $x$ yang membuat pernyataan tersebut terdefinisi.

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Notasi Interval:

$(0, \infty)$

Notasi Pembuat Himpunan:

${x | x > 0}$

Langkah 3

Buat interval di sekitar nilai $x$ saat turunan keduanya bernilai nol atau tak hingga.

$(0, \infty)$

Langkah 4

Substitusikan sebarang bilangan dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya, lalu evaluasi untuk menentukan kecekungan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Ganti variabel $x$ dengan $2$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (2) = \frac{1}{2}$

Langkah 4.2

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

Langkah 4.3

Grafiknya cekung ke atas pada interval $(0, \infty)$ karena $f'' (2)$ positif.

Cekung ke atas pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x)$ positif

Langkah 5