Kalkulus Contoh

$\ln (x^{4} + 1)$

Langkah 1

Tulis $\ln (x^{4} + 1)$ sebagai fungsi.

$f (x) = \ln (x^{4} + 1)$

Langkah 2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = \ln (x)$ dan $g (x) = x^{4} + 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x^{4} + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

Langkah 2.1.1.2

Turunan dari $\ln (u)$ terhadap $u$ adalah $\frac{1}{u}$ .

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

Langkah 2.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x^{4} + 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)$

Langkah 2.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 2.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))$

Langkah 2.1.2.3

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3} + 0)$

Langkah 2.1.2.4

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.2.4.1

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{x^{4} + 1} \cdot (4 x^{3})$

Langkah 2.1.2.4.2

Gabungkan $4$ dan $\frac{1}{x^{4} + 1}$ .

$f' (x) = \frac{4}{x^{4} + 1} \cdot x^{3}$

Langkah 2.1.2.4.3

Gabungkan $\frac{4}{x^{4} + 1}$ dan $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$

Langkah 2.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $\frac{4 x^{3}}{x^{4} + 1}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{x^{4} + 1}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x^{3}}{x^{4} + 1})$

Langkah 2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Bagi yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ adalah $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{3}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{(x^{4} + 1) (3 x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.2.3.2

Pindahkan $3$ ke sebelah kiri $x^{4} + 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 \cdot ((x^{4} + 1) x^{2}) - x^{3} \frac{d}{d x} (x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.2.3.3

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} + 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.2.3.5

Karena $1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.2.3.6

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.6.1

Tambahkan $4 x^{3}$ dan $0$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - x^{3} (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.2.3.6.2

Kalikan $4$ dengan $- 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3} x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.2.4

Kalikan $x^{3}$ dengan $x^{3}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.4.1

Pindahkan $x^{3}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 (x^{3} x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.2.4.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{3 + 3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.2.4.3

Tambahkan $3$ dan $3$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}})$

Langkah 2.2.5

Gabungkan $4$ dan $\frac{3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{4} + 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{4 ((3 x^{4} + 3 \cdot 1) x^{2} - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.2

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2} + 3 \cdot (1 x^{2}) - 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.3

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{4} x^{2}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.4

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.4.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.4.1.1

Kalikan $x^{4}$ dengan $x^{2}$ dengan menambahkan eksponennya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.4.1.1.1

Pindahkan $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 (x^{2} x^{4})) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.4.1.1.2

Gunakan kaidah pangkat $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ untuk menggabungkan pangkat.

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{2 + 4}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.4.1.1.3

Tambahkan $2$ dan $4$ .

$f'' (x) = \frac{4 (3 x^{6}) + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.4.1.2

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 \cdot (1 x^{2})) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.4.1.3

Kalikan $3$ dengan $1$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 4 (3 x^{2}) + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.4.1.4

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 12 x^{2} + 4 (- 4 x^{6})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.4.1.5

Kalikan $- 4$ dengan $4$ .

$f'' (x) = \frac{12 x^{6} + 12 x^{2} - 16 x^{6}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.4.2

Kurangi $16 x^{6}$ dengan $12 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 x^{6} + 12 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.5

Faktorkan $4 x^{2}$ dari $- 4 x^{6} + 12 x^{2}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.6.5.1

Faktorkan $4 x^{2}$ dari $- 4 x^{6}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4}) + 12 x^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.5.2

Faktorkan $4 x^{2}$ dari $12 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4}) + 4 x^{2} (3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.5.3

Faktorkan $4 x^{2}$ dari $4 x^{2} (- x^{4}) + 4 x^{2} (3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- x^{4} + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.6

Faktorkan $- 1$ dari $- x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4}) + 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.7

Tulis kembali $3$ sebagai $- 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4}) - 1 \cdot - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.8

Faktorkan $- 1$ dari $- (x^{4}) - 1 (- 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.9

Tulis kembali $- (x^{4} - 3)$ sebagai $- 1 (x^{4} - 3)$ .

$f'' (x) = \frac{4 x^{2} (- 1 (x^{4} - 3))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.2.6.10

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (x) = - \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 2.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 3

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$- \frac{(4 x^{2}) (x^{4} - 3)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Langkah 3.2

Atur agar pembilangnya sama dengan nol.

$4 x^{2} (x^{4} - 3) = 0$

Langkah 3.3

Selesaikan persamaan untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{4} - 3 = 0$

Langkah 3.3.2

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 3.3.2.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 3.3.2.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 3.3.2.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 3.3.2.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 3.3.3

Atur $x^{4} - 3$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.1

Atur $x^{4} - 3$ sama dengan $0$ .

$x^{4} - 3 = 0$

Langkah 3.3.3.2

Selesaikan $x^{4} - 3 = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.1

Tambahkan $3$ ke kedua sisi persamaan.

$x^{4} = 3$

Langkah 3.3.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{3}$

Langkah 3.3.3.2.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.3.2.3.1

Pertama, gunakan nilai positif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian pertama.

$x = \sqrt[4]{3}$

Langkah 3.3.3.2.3.2

Selanjutnya, gunakan nilai negatif dari $\pm$ untuk menemukan penyelesaian kedua.

$x = - \sqrt[4]{3}$

Langkah 3.3.3.2.3.3

Penyelesaian lengkap adalah hasil dari bagian positif dan negatif dari penyelesaian tersebut.

$x = \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

Langkah 3.3.4

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $4 x^{2} (x^{4} - 3) = 0$ benar.

$x = 0, \sqrt[4]{3}, - \sqrt[4]{3}$

Langkah 4

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = \ln ({(0)}^{4} + 1)$

Langkah 4.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = \ln (0 + 1)$

Langkah 4.1.2.2

Tambahkan $0$ dan $1$ .

$f (0) = \ln (1)$

Langkah 4.1.2.3

Log alami dari $1$ adalah $0$ .

$f (0) = 0$

Langkah 4.1.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 4.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 4.3

Substitusikan $\sqrt[4]{3}$ dalam $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $\sqrt[4]{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln ({(\sqrt[4]{3})}^{4} + 1)$

Langkah 4.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1

Tulis kembali ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{4} + 1)$

Langkah 4.3.2.1.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 1)$

Langkah 4.3.2.1.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $4$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Langkah 4.3.2.1.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.3.2.1.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Langkah 4.3.2.1.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Langkah 4.3.2.1.5

Evaluasi eksponennya.

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Langkah 4.3.2.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$f (\sqrt[4]{3}) = \ln (4)$

Langkah 4.3.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\ln (4)$ .

$\ln (4)$

Langkah 4.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $\sqrt[4]{3}$ dalam $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ adalah $(\sqrt[4]{3}, \ln (4))$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(\sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Langkah 4.5

Substitusikan $- \sqrt[4]{3}$ dalam $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- \sqrt[4]{3}$ pada pernyataan tersebut.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(- \sqrt[4]{3})}^{4} + 1)$

Langkah 4.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1.1

Terapkan kaidah hasil kali ke $- \sqrt[4]{3}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(- 1)}^{4} {\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

Langkah 4.5.2.1.2

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (1 {\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

Langkah 4.5.2.1.3

Kalikan ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ dengan $1$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({\sqrt[4]{3}}^{4} + 1)$

Langkah 4.5.2.1.4

Tulis kembali ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ sebagai $3$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1.4.1

Gunakan $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ untuk menuliskan kembali $\sqrt[4]{3}$ sebagai $3^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln ({(3^{\frac{1}{4}})}^{4} + 1)$

Langkah 4.5.2.1.4.2

Terapkan kaidah pangkat dan perkalian eksponen, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{1}{4} \cdot 4} + 1)$

Langkah 4.5.2.1.4.3

Gabungkan $\frac{1}{4}$ dan $4$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Langkah 4.5.2.1.4.4

Batalkan faktor persekutuan dari $4$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 4.5.2.1.4.4.1

Batalkan faktor persekutuan.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3^{\frac{4}{4}} + 1)$

Langkah 4.5.2.1.4.4.2

Tulis kembali pernyataannya.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Langkah 4.5.2.1.4.5

Evaluasi eksponennya.

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (3 + 1)$

Langkah 4.5.2.2

Tambahkan $3$ dan $1$ .

$f (- \sqrt[4]{3}) = \ln (4)$

Langkah 4.5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\ln (4)$ .

$\ln (4)$

Langkah 4.6

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- \sqrt[4]{3}$ dalam $f (x) = \ln (x^{4} + 1)$ adalah $(- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Langkah 4.7

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (\sqrt[4]{3}, \ln (4)), (- \sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Langkah 5

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - \sqrt[4]{3}) \cup (- \sqrt[4]{3}, 0) \cup (0, \sqrt[4]{3}) \cup (\sqrt[4]{3}, \infty)$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1.41607401$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{(4 {(- 1.41607401)}^{2}) ({(- 1.41607401)}^{4} - 3)}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 1.41607401$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4 {(- 1.41607401)}^{2} (4.02109016 - 3)}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $4.02109016$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4 {(- 1.41607401)}^{2} \cdot 1.02109016}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.3

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.3.1

Kalikan $1.02109016$ dengan $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{4.08436066 {(- 1.41607401)}^{2}}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.1.3.2

Kalikan $4.08436066$ dengan ${(- 1.41607401)}^{2}$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{({(- 1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Naikkan $- 1.41607401$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{(4.02109016 + 1)}^{2}}$

Langkah 6.2.2.2

Tambahkan $4.02109016$ dan $1$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{5.02109016}^{2}}$

Langkah 6.2.2.3

Naikkan $5.02109016$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1.41607401) = - \frac{8.19022798}{25.21134646}$

Langkah 6.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.3.1

Bagilah $8.19022798$ dengan $25.21134646$ .

$f'' (- 1.41607401) = - 1 \cdot 0.32486277$

Langkah 6.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0.32486277$ .

$f'' (- 1.41607401) = - 0.32486277$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 0.32486277$ .

$- 0.32486277$

Langkah 6.3

Pada $- 1.41607401$ , turunan kedua adalah $- 0.32486277$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$

Menurun pada $(- \infty, - \sqrt[4]{3})$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 0.658037$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 0.658037) = - \frac{(4 {(- 0.658037)}^{2}) ({(- 0.658037)}^{4} - 3)}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $- 0.658037$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{4 {(- 0.658037)}^{2} (0.1875 - 3)}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $0.1875$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{4 {(- 0.658037)}^{2} \cdot - 2.8125}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.3

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.3.1

Kalikan $- 2.8125$ dengan $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 11.25 {(- 0.658037)}^{2}}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.1.3.2

Kalikan $- 11.25$ dengan ${(- 0.658037)}^{2}$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{({(- 0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Naikkan $- 0.658037$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{(0.1875 + 1)}^{2}}$

Langkah 7.2.2.2

Tambahkan $0.1875$ dan $1$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{1.1875}^{2}}$

Langkah 7.2.2.3

Naikkan $1.1875$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{1.41015625}$

Langkah 7.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.3.1

Bagilah $- 4.87139289$ dengan $1.41015625$ .

$f'' (- 0.658037) = 3.45450576$

Langkah 7.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3.45450576$ .

$f'' (- 0.658037) = 3.45450576$

Langkah 7.2.4

Jawaban akhirnya adalah $3.45450576$ .

$3.45450576$

Langkah 7.3

Pada $- 0.658037$ , turunan keduanya adalah $3.45450576$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ .

Meningkat pada $(- \sqrt[4]{3}, 0)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \sqrt[4]{3})$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.658037$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.658037) = - \frac{(4 {(0.658037)}^{2}) ({(0.658037)}^{4} - 3)}{{({(0.658037)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $0.658037$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{4 \cdot ({0.658037}^{2} (0.1875 - 3))}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $0.1875$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{4 \cdot {0.658037}^{2} \cdot - 2.8125}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.3

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.3.1

Kalikan $- 2.8125$ dengan $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 11.25 \cdot {0.658037}^{2}}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 8.2.1.3.2

Kalikan $- 11.25$ dengan ${0.658037}^{2}$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{({0.658037}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Naikkan $0.658037$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{(0.1875 + 1)}^{2}}$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $0.1875$ dan $1$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{{1.1875}^{2}}$

Langkah 8.2.2.3

Naikkan $1.1875$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.658037) = - \frac{- 4.87139289}{1.41015625}$

Langkah 8.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.3.1

Bagilah $- 4.87139289$ dengan $1.41015625$ .

$f'' (0.658037) = 3.45450576$

Langkah 8.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $- 3.45450576$ .

$f'' (0.658037) = 3.45450576$

Langkah 8.2.4

Jawaban akhirnya adalah $3.45450576$ .

$3.45450576$

Langkah 8.3

Pada $0.658037$ , turunan keduanya adalah $3.45450576$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \sqrt[4]{3})$ .

Meningkat pada $(0, \sqrt[4]{3})$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

Substitusikan nilai dari interval $(\sqrt[4]{3}, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.41607401$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.41607401) = - \frac{(4 {(1.41607401)}^{2}) ({(1.41607401)}^{4} - 3)}{{({(1.41607401)}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 9.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1

Sederhanakan pembilangnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.1

Naikkan $1.41607401$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4 \cdot ({1.41607401}^{2} (4.02109016 - 3))}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.2

Kurangi $3$ dengan $4.02109016$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4 \cdot {1.41607401}^{2} \cdot 1.02109016}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.3

Gabungkan eksponen.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.1.3.1

Kalikan $1.02109016$ dengan $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{4.08436066 \cdot {1.41607401}^{2}}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 9.2.1.3.2

Kalikan $4.08436066$ dengan ${1.41607401}^{2}$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{({1.41607401}^{4} + 1)}^{2}}$

Langkah 9.2.2

Sederhanakan penyebutnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.2.1

Naikkan $1.41607401$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{(4.02109016 + 1)}^{2}}$

Langkah 9.2.2.2

Tambahkan $4.02109016$ dan $1$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{{5.02109016}^{2}}$

Langkah 9.2.2.3

Naikkan $5.02109016$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.41607401) = - \frac{8.19022798}{25.21134646}$

Langkah 9.2.3

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 9.2.3.1

Bagilah $8.19022798$ dengan $25.21134646$ .

$f'' (1.41607401) = - 1 \cdot 0.32486277$

Langkah 9.2.3.2

Kalikan $- 1$ dengan $0.32486277$ .

$f'' (1.41607401) = - 0.32486277$

Langkah 9.2.4

Jawaban akhirnya adalah $- 0.32486277$ .

$- 0.32486277$

Langkah 9.3

Pada $1.41607401$ , turunan kedua adalah $- 0.32486277$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(\sqrt[4]{3}, \infty)$

Menurun pada $(\sqrt[4]{3}, \infty)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 10

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- \sqrt[4]{3}, \ln (4)), (\sqrt[4]{3}, \ln (4))$ .

$(- \sqrt[4]{3}, \ln (4)), (\sqrt[4]{3}, \ln (4))$

Langkah 11