Kalkulus Contoh

$f (x) = {(x - 1)}^{4}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.1.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x - 1)$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Langkah 1.1.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Langkah 1.1.2.3

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} (1 + 0)$

Langkah 1.1.2.4

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.2.4.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3} \cdot 1$

Langkah 1.1.2.4.2

Kalikan $4$ dengan $1$ .

$f' (x) = 4 {(x - 1)}^{3}$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 {(x - 1)}^{3}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{3})$

Langkah 1.2.2

Diferensialkan menggunakan kaidah rantai, yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ adalah $f' (g (x)) g' (x)$ di mana $f (x) = x^{3}$ dan $g (x) = x - 1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

Untuk menerapkan Kaidah Rantai, atur $u$ sebagai $x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x - 1))$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ adalah $n u^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Langkah 1.2.2.3

Ganti semua kemunculan $u$ dengan $x - 1$ .

$f'' (x) = 4 (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Langkah 1.2.3

Diferensialkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = 12 ({(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x - 1))$

Langkah 1.2.3.2

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x - 1$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Langkah 1.2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))$

Langkah 1.2.3.4

Karena $- 1$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $- 1$ terhadap $x$ adalah $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)$

Langkah 1.2.3.5

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.5.1

Tambahkan $1$ dan $0$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2} \cdot 1$

Langkah 1.2.3.5.2

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f'' (x) = 12 {(x - 1)}^{2}$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $12 {(x - 1)}^{2}$ .

$12 {(x - 1)}^{2}$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$12 {(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 2.2

Bagi setiap suku pada $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ dengan $12$ dan sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Bagilah setiap suku di $12 {(x - 1)}^{2} = 0$ dengan $12$ .

$\frac{12 {(x - 1)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan sisi kirinya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Batalkan faktor persekutuan dari $12$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Batalkan faktor persekutuan.

$\frac{12 {(x - 1)}^{2}}{12} = \frac{0}{12}$

Langkah 2.2.2.1.2

Bagilah ${(x - 1)}^{2}$ dengan $1$ .

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{12}$

Langkah 2.2.3

Sederhanakan sisi kanannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.3.1

Bagilah $0$ dengan $12$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Langkah 2.3

Atur $x - 1$ agar sama dengan $0$ .

$x - 1 = 0$

Langkah 2.4

Tambahkan $1$ ke kedua sisi persamaan.

$x = 1$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $1$ dalam $f (x) = {(x - 1)}^{4}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $1$ pada pernyataan tersebut.

$f (1) = {((1) - 1)}^{4}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Kurangi $1$ dengan $1$ .

$f (1) = 0^{4}$

Langkah 3.1.2.2

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (1) = 0$

Langkah 3.1.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $1$ dalam $f (x) = {(x - 1)}^{4}$ adalah $(1, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(1, 0)$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, 1)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.9$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.9) = 12 {((0.9) - 1)}^{2}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Kurangi $1$ dengan $0.9$ .

$f'' (0.9) = 12 {(- 0.1)}^{2}$

Langkah 5.2.2

Naikkan $- 0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.9) = 12 \cdot 0.01$

Langkah 5.2.3

Kalikan $12$ dengan $0.01$ .

$f'' (0.9) = 0.12$

Langkah 5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0.12$ .

$0.12$

Langkah 5.3

Pada $0.9$ , turunan keduanya adalah $0.12$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, 1)$ .

Meningkat pada $(- \infty, 1)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(1, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $1.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (1.1) = 12 {((1.1) - 1)}^{2}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Kurangi $1$ dengan $1.1$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot {0.1}^{2}$

Langkah 6.2.2

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (1.1) = 12 \cdot 0.01$

Langkah 6.2.3

Kalikan $12$ dengan $0.01$ .

$f'' (1.1) = 0.12$

Langkah 6.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0.12$ .

$0.12$

Langkah 6.3

Pada $1.1$ , turunan keduanya adalah $0.12$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(1, \infty)$ .

Meningkat pada $(1, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 7

Titik belok adalah titik pada kurva ketika kecekungan berubah dari positif ke negatif atau dari negatif ke positif. Tidak ada titik pada grafik yang memenuhi syarat.

Tidak Ada Titik Belok