Kalkulus Contoh

$f (x) = x^{4} e^{x}$

Langkah 1

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1

Tentukan turunan pertamanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.1

Diferensialkan menggunakan Kaidah Hasil Kali yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ adalah $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ di mana $f (x) = x^{4}$ dan $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Langkah 1.1.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Langkah 1.1.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Langkah 1.1.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.1.4.1

Susun kembali suku-suku.

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Langkah 1.1.4.2

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Langkah 1.2

Tentukan turunan keduanya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.1

Menurut Kaidah Penjumlahan, turunan dari $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ terhadap (Variabel1) adalah $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Langkah 1.2.2

Evaluasi $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.2.1

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Langkah 1.2.2.2

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Langkah 1.2.2.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Langkah 1.2.3

Evaluasi $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.3.1

Karena $4$ konstan terhadap $x$ , turunan dari $4 x^{3} e^{x}$ terhadap $x$ adalah $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

Langkah 1.2.3.2

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Langkah 1.2.3.3

Diferensialkan menggunakan Kaidah Eksponensial yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ adalah $a^{x} \ln (a)$ di mana (Variabel2)= $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Langkah 1.2.3.4

Diferensialkan menggunakan Kaidah Pangkat yang menyatakan bahwa $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ adalah $n x^{n - 1}$ di mana $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Langkah 1.2.4

Sederhanakan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.1

Terapkan sifat distributif.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

Langkah 1.2.4.2

Gabungkan suku-sukunya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.1

Kalikan $3$ dengan $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

Langkah 1.2.4.2.2

Tambahkan $e^{x} (4 x^{3})$ dan $4 x^{3} e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 1.2.4.2.2.1

Pindahkan $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Langkah 1.2.4.2.2.2

Tambahkan $4 x^{3} e^{x}$ dan $4 x^{3} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Langkah 1.2.4.3

Susun kembali suku-suku.

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

Langkah 1.2.4.4

Susun kembali faktor-faktor dalam $e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Langkah 1.3

Turunan kedua dari $f (x)$ terhadap $x$ adalah $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Langkah 2

Atur turunan keduanya agar sama dengan $0$ dan selesaikan persamaan $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Atur turunan keduanya sama dengan $0$ .

$x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Langkah 2.2

Faktorkan sisi kiri persamaannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Faktorkan $x^{2} e^{x}$ dari $x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1.1

Faktorkan $x^{2} e^{x}$ dari $x^{4} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Langkah 2.2.1.2

Faktorkan $x^{2} e^{x}$ dari $8 x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + 12 x^{2} e^{x} = 0$

Langkah 2.2.1.3

Faktorkan $x^{2} e^{x}$ dari $12 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Langkah 2.2.1.4

Faktorkan $x^{2} e^{x}$ dari $x^{2} e^{x} (x^{2}) + x^{2} e^{x} (8 x)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12) = 0$

Langkah 2.2.1.5

Faktorkan $x^{2} e^{x}$ dari $x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x) + x^{2} e^{x} (12)$ .

$x^{2} e^{x} (x^{2} + 8 x + 12) = 0$

Langkah 2.2.2

Faktorkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1

Faktorkan $x^{2} + 8 x + 12$ menggunakan metode AC.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.2.1.1

Mempertimbangkan bentuk $x^{2} + b x + c$ . Tentukan pasangan bilangan bulat yang hasil kalinya (Variabel1) dan jumlahnya $b$ . Dalam hal ini, hasil kalinya $12$ dan jumlahnya $8$ .

$2, 6$

Langkah 2.2.2.1.2

Tulis bentuk yang difaktorkan menggunakan bilangan bulat ini.

$x^{2} e^{x} ((x + 2) (x + 6)) = 0$

Langkah 2.2.2.2

Hilangkan tanda kurung yang tidak perlu.

$x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$

Langkah 2.3

Jika faktor individu di sisi kiri persamaan sama dengan $0$ , seluruh pernyataan akan menjadi sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Langkah 2.4

Atur $x^{2}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.1

Atur $x^{2}$ sama dengan $0$ .

$x^{2} = 0$

Langkah 2.4.2

Selesaikan $x^{2} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Langkah 2.4.2.2

Sederhanakan $\pm \sqrt{0}$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.4.2.2.1

Tulis kembali $0$ sebagai $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Langkah 2.4.2.2.2

Mengeluarkan suku-suku dari bawah akar, dengan asumsi bahwa bilangan riil positif.

$x = \pm 0$

Langkah 2.4.2.2.3

Tambah atau kurang $0$ adalah $0$ .

$x = 0$

Langkah 2.5

Atur $e^{x}$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.1

Atur $e^{x}$ sama dengan $0$ .

$e^{x} = 0$

Langkah 2.5.2

Selesaikan $e^{x} = 0$ untuk $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.5.2.1

Ambil logaritma alami dari kedua sisi persamaan untuk menghapus variabel dari eksponennya.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Langkah 2.5.2.2

Persamaannya tidak dapat diselesaikan karena $\ln (0)$ tidak terdefinisi.

Tidak terdefinisi

Langkah 2.5.2.3

Tidak ada penyelesaian untuk $e^{x} = 0$

Tidak ada penyelesaian

Langkah 2.6

Atur $x + 2$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.6.1

Atur $x + 2$ sama dengan $0$ .

$x + 2 = 0$

Langkah 2.6.2

Kurangkan $2$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 2$

Langkah 2.7

Atur $x + 6$ agar sama dengan $0$ dan selesaikan $x$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.7.1

Atur $x + 6$ sama dengan $0$ .

$x + 6 = 0$

Langkah 2.7.2

Kurangkan $6$ dari kedua sisi persamaan tersebut.

$x = - 6$

Langkah 2.8

Penyelesaian akhirnya adalah semua nilai yang membuat $x^{2} e^{x} (x + 2) (x + 6) = 0$ benar.

$x = 0, - 2, - 6$

Langkah 3

Tentukan titik di mana turunan keduanya adalah $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1

Substitusikan $0$ dalam $f (x) = x^{4} e^{x}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.1

Ganti variabel $x$ dengan $0$ pada pernyataan tersebut.

$f (0) = {(0)}^{4} e^{0}$

Langkah 3.1.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.1.2.1

Menaikkan $0$ ke sebarang pangkat positif menghasilkan $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Langkah 3.1.2.2

Apa pun yang dinaikkan ke $0$ adalah $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Langkah 3.1.2.3

Kalikan $0$ dengan $1$ .

$f (0) = 0$

Langkah 3.1.2.4

Jawaban akhirnya adalah $0$ .

$0$

Langkah 3.2

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $0$ dalam $f (x) = x^{4} e^{x}$ adalah $(0, 0)$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(0, 0)$

Langkah 3.3

Substitusikan $- 2$ dalam $f (x) = x^{4} e^{x}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 2$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 2) = {(- 2)}^{4} e^{- 2}$

Langkah 3.3.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.3.2.1

Naikkan $- 2$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 2) = 16 e^{- 2}$

Langkah 3.3.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 16 (\frac{1}{e^{2}})$

Langkah 3.3.2.3

Gabungkan $16$ dan $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{16}{e^{2}}$

Langkah 3.3.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Langkah 3.4

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 2$ dalam $f (x) = x^{4} e^{x}$ adalah $(- 2, \frac{16}{e^{2}})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 2, \frac{16}{e^{2}})$

Langkah 3.5

Substitusikan $- 6$ dalam $f (x) = x^{4} e^{x}$ untuk menemukan nilai dari $y$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 6$ pada pernyataan tersebut.

$f (- 6) = {(- 6)}^{4} e^{- 6}$

Langkah 3.5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 3.5.2.1

Naikkan $- 6$ menjadi pangkat $4$ .

$f (- 6) = 1296 e^{- 6}$

Langkah 3.5.2.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 6) = 1296 (\frac{1}{e^{6}})$

Langkah 3.5.2.3

Gabungkan $1296$ dan $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f (- 6) = \frac{1296}{e^{6}}$

Langkah 3.5.2.4

Jawaban akhirnya adalah $\frac{1296}{e^{6}}$ .

$\frac{1296}{e^{6}}$

Langkah 3.6

Titiknya yang ditemukan dengan mensubsitusi $- 6$ dalam $f (x) = x^{4} e^{x}$ adalah $(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$ . Titik ini dapat menjadi titik belok.

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

Langkah 3.7

Tentukan titik-titik yang dapat menjadi titik belok.

$(0, 0), (- 2, \frac{16}{e^{2}}), (- 6, \frac{1296}{e^{6}})$

Langkah 4

Pisahkan $(- \infty, \infty)$ menjadi interval di sekitar titik-titik yang dapat berpotensi menjadi titik-titik belok.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Langkah 5

Substitusikan nilai dari interval $(- \infty, - 6)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 6.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 6.1) = {(- 6.1)}^{4} e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.1.1

Naikkan $- 6.1$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 e^{- 6.1} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 1384.5841 (\frac{1}{e^{6.1}}) + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.3

Gabungkan $1384.5841$ dan $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{e^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.4

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{{2.71828182}^{6.1}} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.5

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = \frac{1384.5841}{445.85777008} + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.6

Bagilah $1384.5841$ dengan $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 {(- 6.1)}^{3} e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.7

Naikkan $- 6.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + 8 \cdot (- 226.981 e^{- 6.1}) + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.8

Kalikan $8$ dengan $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 e^{- 6.1} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.9

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1815.848 \frac{1}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.10

Gabungkan $- 1815.848$ dan $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 + \frac{- 1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.11

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{e^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.12

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{{2.71828182}^{6.1}} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.13

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - \frac{1815.848}{445.85777008} + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.14

Bagilah $1815.848$ dengan $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 1 \cdot 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.15

Kalikan $- 1$ dengan $4.07270686$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 {(- 6.1)}^{2} e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.16

Naikkan $- 6.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 12 \cdot (37.21 e^{- 6.1})$

Langkah 5.2.1.17

Kalikan $12$ dengan $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 e^{- 6.1}$

Langkah 5.2.1.18

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 446.52 (\frac{1}{e^{6.1}})$

Langkah 5.2.1.19

Gabungkan $446.52$ dan $\frac{1}{e^{6.1}}$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{e^{6.1}}$

Langkah 5.2.1.20

Ganti $e$ dengan nilai perkiraan.

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{{2.71828182}^{6.1}}$

Langkah 5.2.1.21

Naikkan $2.71828182$ menjadi pangkat $6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + \frac{446.52}{445.85777008}$

Langkah 5.2.1.22

Bagilah $446.52$ dengan $445.85777008$ .

$f'' (- 6.1) = 3.10543898 - 4.07270686 + 1.00148529$

Langkah 5.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 5.2.2.1

Kurangi $4.07270686$ dengan $3.10543898$ .

$f'' (- 6.1) = - 0.96726787 + 1.00148529$

Langkah 5.2.2.2

Tambahkan $- 0.96726787$ dan $1.00148529$ .

$f'' (- 6.1) = 0.03421741$

Langkah 5.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.03421741$ .

$0.03421741$

Langkah 5.3

Pada $- 6.1$ , turunan keduanya adalah $0.03421741$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- \infty, - 6)$ .

Meningkat pada $(- \infty, - 6)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 6

Substitusikan nilai dari interval $(- 6, - 2)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 4$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{4} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.1.1

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 4) = 256 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.2

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = 256 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.3

Gabungkan $256$ dan $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{3} e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.4

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + 8 \cdot (- 64 e^{- 4}) + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.5

Kalikan $8$ dengan $- 64$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 e^{- 4} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - 512 \frac{1}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.7

Gabungkan $- 512$ dan $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} + \frac{- 512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 {(- 4)}^{2} e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.9

Naikkan $- 4$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 12 \cdot (16 e^{- 4})$

Langkah 6.2.1.10

Kalikan $12$ dengan $16$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 e^{- 4}$

Langkah 6.2.1.11

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + 192 (\frac{1}{e^{4}})$

Langkah 6.2.1.12

Gabungkan $192$ dan $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f'' (- 4) = \frac{256}{e^{4}} - \frac{512}{e^{4}} + \frac{192}{e^{4}}$

Langkah 6.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (- 4) = \frac{256 - 512 + 192}{e^{4}}$

Langkah 6.2.2.2

Sederhanakan pernyataannya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 6.2.2.2.1

Kurangi $512$ dengan $256$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 256 + 192}{e^{4}}$

Langkah 6.2.2.2.2

Tambahkan $- 256$ dan $192$ .

$f'' (- 4) = \frac{- 64}{e^{4}}$

Langkah 6.2.2.2.3

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 4) = - \frac{64}{e^{4}}$

Langkah 6.2.3

Jawaban akhirnya adalah $- \frac{64}{e^{4}}$ .

$- \frac{64}{e^{4}}$

Langkah 6.3

Pada $- 4$ , turunan kedua adalah $- 1.17220088$ . Karena ini negatif, turunan kedua menurun pada interval $(- 6, - 2)$

Menurun pada $(- 6, - 2)$ karena $f'' (x) < 0$

Langkah 7

Substitusikan nilai dari interval $(- 2, 0)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.1

Ganti variabel $x$ dengan $- 1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (- 1) = {(- 1)}^{4} e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Langkah 7.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.1.1

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (- 1) = 1 e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Langkah 7.2.1.2

Kalikan $e^{- 1}$ dengan $1$ .

$f'' (- 1) = e^{- 1} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Langkah 7.2.1.3

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 {(- 1)}^{3} e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Langkah 7.2.1.4

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + 8 \cdot (- 1 e^{- 1}) + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Langkah 7.2.1.5

Kalikan $8$ dengan $- 1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 e^{- 1} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Langkah 7.2.1.6

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - 8 \frac{1}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Langkah 7.2.1.7

Gabungkan $- 8$ dan $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} + \frac{- 8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Langkah 7.2.1.8

Pindahkan tanda negatif di depan pecahan.

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 {(- 1)}^{2} e^{- 1}$

Langkah 7.2.1.9

Naikkan $- 1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 \cdot (1 e^{- 1})$

Langkah 7.2.1.10

Kalikan $12$ dengan $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 e^{- 1}$

Langkah 7.2.1.11

Tulis kembali pernyataannya menggunakan aturan eksponen negatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + 12 (\frac{1}{e})$

Langkah 7.2.1.12

Gabungkan $12$ dan $\frac{1}{e}$ .

$f'' (- 1) = \frac{1}{e} - \frac{8}{e} + \frac{12}{e}$

Langkah 7.2.2

Gabungkan pecahan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.1

Gabungkan pembilang dari penyebut persekutuan.

$f'' (- 1) = \frac{1 - 8 + 12}{e}$

Langkah 7.2.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan dan mengurangkan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 7.2.2.2.1

Kurangi $8$ dengan $1$ .

$f'' (- 1) = \frac{- 7 + 12}{e}$

Langkah 7.2.2.2.2

Tambahkan $- 7$ dan $12$ .

$f'' (- 1) = \frac{5}{e}$

Langkah 7.2.3

Jawaban akhirnya adalah $\frac{5}{e}$ .

$\frac{5}{e}$

Langkah 7.3

Pada $- 1$ , turunan keduanya adalah $1.8393972$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(- 2, 0)$ .

Meningkat pada $(- 2, 0)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 8

Substitusikan nilai dari interval $(0, \infty)$ ke dalam turunan keduanya untuk menentukan apakah naik atau turun.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.1

Ganti variabel $x$ dengan $0.1$ pada pernyataan tersebut.

$f'' (0.1) = {(0.1)}^{4} e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Langkah 8.2

Sederhanakan hasilnya.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1

Sederhanakan setiap suku.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.1.1

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $4$ .

$f'' (0.1) = 0.0001 e^{0.1} + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Langkah 8.2.1.2

Kalikan $0.0001$ dengan $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 {(0.1)}^{3} e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Langkah 8.2.1.3

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $3$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 8 \cdot (0.001 e^{0.1}) + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Langkah 8.2.1.4

Kalikan $8$ dengan $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.008 e^{0.1} + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Langkah 8.2.1.5

Kalikan $0.008$ dengan $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 {(0.1)}^{2} e^{0.1}$

Langkah 8.2.1.6

Naikkan $0.1$ menjadi pangkat $2$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 12 \cdot (0.01 e^{0.1})$

Langkah 8.2.1.7

Kalikan $12$ dengan $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.12 e^{0.1}$

Langkah 8.2.1.8

Kalikan $0.12$ dengan $e^{0.1}$ .

$f'' (0.1) = 0.00011051 + 0.00884136 + 0.13262051$

Langkah 8.2.2

Sederhanakan dengan menambahkan bilangan.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 8.2.2.1

Tambahkan $0.00011051$ dan $0.00884136$ .

$f'' (0.1) = 0.00895188 + 0.13262051$

Langkah 8.2.2.2

Tambahkan $0.00895188$ dan $0.13262051$ .

$f'' (0.1) = 0.14157239$

Langkah 8.2.3

Jawaban akhirnya adalah $0.14157239$ .

$0.14157239$

Langkah 8.3

Pada $0.1$ , turunan keduanya adalah $0.14157239$ . Karena ini positif, turunan keduanya meningkat pada interval $(0, \infty)$ .

Meningkat pada $(0, \infty)$ karena $f'' (x) > 0$

Langkah 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$ .

$(- 6, \frac{1296}{e^{6}}), (- 2, \frac{16}{e^{2}})$

Langkah 10